2) L'équation de la première hyperbole est donc  y = 2 + 1/(x + 1) , qui peut s'écrire   y - 2 = 1/(x + 1).
Si l'on pose  X = x + 1  et  Y = y - 2 , cette équation devient  Y = 1/X . C'est l'équation de la deuxième hyperbole.
On voit que pour passer de la première à la deuxième hyperbole, il faut ajouter 1 unité à  x  et retrancher  2  unités de  y .
Cela correspond à une translation de 1 unité vers la droite et de 2 unités vers le bas.

Donc ça donne f(x)=H(x+1)-2 (et non f(x)=H(x+1)+2) ?

3) De quelle façon peut-on déterminer le centre de symétrie de Cf ?

3) Il se déduit de celui de la deuxième hyperbole par une translation opposée.

Houla !? Que veux-tu dire ?

et pour f(x)=H(x+1)-2, c'est bon ?

---------->  translation directe
<----------  translation opposée (ou inverse).
Que signifie H ?

2) Démontrer alors que Cf est l'image de l'hyperbole H d'équation y = 1/x par une translation que l'on déterminera (utiliser les résultats sur les fonctions associées, à partir de l'expression ci-dessus).

Et je n'ai pas vu les translations directes ou opposées, j'ai trouvé ceci http://homeomath.imingo.net/cf2.htm

Mais je ne vois pas comment l'utiliser...

Cette notion me paraît pourtant tomber sous le sens.
Si on imprime à un objet une translation de + 1, il prend une nouvelle position. Pour le ramener à sa position initiale, il faut lui imprimer une translation de  - 1 .
1 - 1 = 0 .

Mais je ne comprends rien de ce que tu dis...

Est-ce que f(x)=H(x+1)-2 est bon ?

Et que dois-je faire pour la question 3 ?

Je persiste à ne pas comprendre ce que signifie pour toi cette égalité.
3. La deuxième hyperbole (hyperbole H) a un centre de symétrie situé au point origine du repère. Ce centre de symétrie est l'image de celui () de la première hyperbole dans la translation imprimée à celle-ci.

2. Et bien comme tu le dis, il y a une translation, donc la courbe de la fonction H est l'image de celle de F et f(x)=H(x+1)-2

3. Je ne comprends pas très bien le fonctionnement, quel serait le résultat ? la démarche à suivre ?

3. Le centre de symétrie de l'hyperbole H est le point origine (0; 0).
Les formules traduisant la translation sont
X = x + 1
Y = y - 2
Si X = Y = 0, alors  x = - 1  et  y = 2.
Ce sont les coordonnées du centre de symétrie de la première hyperbole Cf.

Merci beaucoup !

Mais je vois que mon raisonnement de la question 2 te chagrine, pourquoi ? Qu'aurais-tu mis ?

Si je fais une démonstration, ça donne :

On prend x=2

f(x)=(2x+3)/(x+1)=7/3

Maintenant :

f(x)=H(x+1) - 2 =1/(x+1)-2
                =-1/2, or c'est faux, car il n'y pas de point à ces coordonnées.

Mais:

f(x)=H(x+1) + 2 =1/(x+1)+2, ici on retrouve la question 1.
                =1/2 ce qui est vrai.

Donc, je te demande pourquoi cette égalité est fausse car on retrouve bien la question 1 :

f(x)=H(x+1)+2
    =1/(x+1)+2
    =(2x+3)/(x+1), ce qu'on a démontré dans le 1.

Conclusion : Je dirais plutôt qu'on ajoute 2, mais en effet pour la question 3, le centre de symétrie de trouverait en x=-1 et y=-2 ce qui est faux.

J'avoue que j'ai du mal à suivre ton raisonnement et à dire s'il est juste ou faux.
Pour moi, l'hyperbole initiale a pour équation  y = 2 + 1/(x + 1) et l'hyperbole issue de celle-ci par translation  a pour équation  Y = 1/X . Il me semble que cela permet de répondre à toutes les questions.
J'ai mis X et Y pour éviter la confusion avec x et y. Mais les axes du repère sont les mêmes et on pourrait dire que l'hyperbole translatée a pour équation  y = 1/x .

C'est un vrai casse-tête, je vais demandé l'avis de mes camarades, et je vous tiens au courant.

D'accord.

Voilà :
On a bien: Y = y - 2.
si on ajoute un à x et qu'on calcule Y à partir de H(x), il nous faut ensuite trouver y.
Y = y - 2 mais y = Y+2.
Donc il faut bien ajouter 2, et non pas retrancher 2.

On retrouve bien:
f(x)=H(x+1)+2