problème de dénombrement? factorielles? probabilité?

Posté par sny sny

Bonsoir,

cela fait quelques temps que je potasse cet exercice, mais je n'arrive toujours pas à une solution; c'est pourquoi je vous le soumets, en espérant que vous puissiez éclairer ma lanterne:

Il est question de savoir combien de combinaisons différentes on peut faire, en plaçant différentes pièces, de 1, 2, 3, et 4 EUROS, dans une grille mesurant 4 cases sur 4 sans que la même pièce n'apparaisse sur la même ligne, sur la même colonne, et sur la même grande diagonale.

Merci d'avance à quiconque qui m'apporte ne serait-ce qu'un tout petit élément de réponse.

Cordialement

Posté par nikole nikole

salut
quetion interessante, je suis depuis plusieurs temps en train de jouer SUDOKU qui consiste a completer une grille 9x9 par des chiffres de 1 a 9 sans que le meme chiffre se repete dans a meme colonne ni dans la meme ligne mais pas de contraine sur les diagonales.

tout d'abord comme il ne faut pas que le meme chiffre se repete dans la meme ligne donc dans chaque ligne tu dois avoir chacun des chiffres
donc tu as quatre 1
quatre 2
quatre 3
quatre 4
pour les placer j'ai pense a placer le 1
le 1 peut etre place de 4 facons dans la premiere ligne, soit sur l'un des 2 coins soit sur l'une des cases moyennes
prenons le cas ou le 1 est sur le coin
je te propose d'avoir une grille devant toi pourque tu puisses me suivre
barre la colonne la ligne et la diagonale qui se coupent en la case de 1
sur la 2eme ligne tu peux placer le 1 de deux facons seulement
place le 1 dans l'une des deux cases et barre la colonne et la ligne qui se coupent en ce 2eme 1
tu remarques que dans la 3eme ligne tu as deux choix MAIS dans la 4eme il ne te reste qu'un choix (ou bien dans la 3eme tu as un seul choix et dans la 4eme deux choix)
donc une fois la 2nde ligne remplie par le 1 il ne te reste qu'un seul choix pour placer les autres 1 de la 3eme et la 4eme ligne

conclusion premiere, si tu places le 1 dans le coin, tu n'as que deux positions possibles qui corresondent a chacune a la position du 1 dans la 2nde ligne.
meme chose quand le 1 est sur le 2nd coin de la premiere ligne

essayons le 1 sur une case moyenne de la premiere ligne
Sur la 2eme ligne apres avoir barre la ligne et la colonne, on remarque qu'on a trois possibilites,
or si on pose le 1 dans la case solitaire, les 1 de la 3eme et 4eme ligne occuperont une seule position possible car la deuxieme qui reste ils seront sur la grande diagonale.
et si opn place dans la 2eme ligne le dans la 3 eme case, on aura deux possibilites pour la 3eme et la 4eme qui seront toutes les deux acceptables
de meme si on place le 1 dans la 4 eme case de la deuxieme ligne, on aura 2 possibilites pour les 3eme et 4eme lignes
conclusion quand on place le 1 sur une case moyenne on aura 5 possibilites de continuer la grille avec le 1

Donc enfin le 1 peut prendre 2+5+5+2=14combinaisons possible dans la grille
maintenant il faut pour chacune de ces possibilites voir pour le 2 etc...

Posté par nikole nikole

prenons le cas ou 1 est au coin ds la 1ere ligne et dans la deuxime il est sur la 3eme case
et placons un 2 a son cote dans la 1ere ligne, et barrons ligne et colonne
dans la deuxieme ligne on aura 2 possibilites pour le 2 , l'une d'elle ou le 2 est au dessous de 1, il nous reste une possibilite pour le 2 dans la 4eme pour laquelle on aura deux 2 sur la grande diagonale ce qui est inacceptable
donc le 2 ne peut pas etre au dessous du 1 dans la 2eme ligne, il lui reste la seule derniere case pour laquelle on aura 2 possibilites pour la 3 eme et la 4eme ligne

conclusion, qd le 1 au coin dans L1 et dans la case 3 dans L2, et le 2 a ses cotes dans L1 , ON AURA DEUX POSSIBILITES

maintenat prenons meme position pour le 1 et mettons le 2 dans la 3eme case de L1,
3 possibilites du 2 dans la 2eme ligne
quand il est au dessous du 1 il lui reste une seule poss pour la 3eme et 4 eme ligne
quand il est dans la 2eme case de L2 il ne lui rest eaussi qu'une seule possibilite
mettons le maintenant dans la 4eme case de L1
en passant a L2, on remaruqe 2 cases possibles a chacune on peut continuer la grille avec une seule possibilite pour le 2
finalement, quand le 1 est au coin on a 6 possibilites pour completer la grille avec le 2

Quand le 1 est au coin dans L1, et dans la case 4 dans L2
le 2 dans la case 2 de L1
LE 2 NE POURRA PLUS ETRE AU DESSOUS DE 1 (PAR SYMETRIE D'UN CAS PRECEDENT) tu n'as qu'a essayer
donc le 2 ne pourra que prendre une seule position case 3 de L2 pour laquelle on continue la grille de 2 facons differentes dans L3 ET L4

BON JE RESSENS QUE J'ARRIVERAI A DENOMBRER TOUSLES CAS POSSIBLES
MAIS JE NE TROUVE PAS L'ALGORITHME OU LA REGLE QU'IL FAUT APPLIQUE
JE COMPRENDS QUE TU  RECHERCHES UNE METHODE DANS LAQUELLE TU VEUX LA REPONSE SANS DENOMBRER LES CAS MAIS JE N'Y ARRIVE PAS

JE VASI ESSAYER ET SI J'AURAI LA REPONSE JE TE LA POSTERAI
BONNE CHANCE

Posté par sny sny

Merci beaucoup pour tes réponses...

Quelqu'un connaîtrait-il l'algorithme ou la méthode de calcul pour savoir combien il y a de possibilités en tout?