Nombres complexes: arg (dur dur dur)

Posté par Nora2805 (invité)

salut à tous:
pourriez vous m'aider à résoudre l'exercice suivant?
merci d'avance.

sur le plan attribué au repère orthonormé (o,,).
Définir le nombre complexe Z qui verifie:

|Z| = |Z-2|
arg Z arg (Z+1-i) [2]

l'écriture si-dessus est un système.
merci une autre fois.

Posté par Revelli Revelli

Bonjour,

Il faut utiliser les formes algébrique et trigonométrique des nombres complexes pour faire cet exercice

z=|z|[cos(arg(z))+isin(arg(z))]

Soit z=x+iy, donc z-2 = (x-2)+iy

alors |z|²=x²+y²

et |z-2|²=(x-2)²+y²

|z|=|z-2| => |z|²=|z-2|² => x²+y²= (x-2)²+y²

d'où x² = (x-2)²

soit encore x²=x²-4x+4 => 4x=4

en conclusion x=1

Pour trouver y, on va utiliser le fait que cos(arg(z))=x/(x²+y²)^1/2

A toi de finir

A+

Posté par ciocciu ciocciu

salut
pour les modules essaies de remplacer Z par x+iy donc |Z|=...et |Z-2|=... ensuite tu écris l'égalité et tu trouveras x
pour les arg c'est un poil plus compliqué
tu remplaces x par ce que tu as trouvé par exemple 1/2 ensuite tu places sur un schéma le complexes 1/2+iy en choisissant un y qqconque
ensuite tu place Z+1-i
et tu regardes à quoi sont égaux les angles avec la tangente coté opposé/adjacent
et tu écris l'égalité des tangentes des deux angles puisque les arg sont égaux
tu en déduis une équation pour trouver y
bonne chance

Posté par otto otto

Pour l'égalité des modules, une interprétation géométrique est pas mal plus rapide et il est important (nécessaire) que les élèves sachent en faire de temps en temps:
ici |z-w| représente la distance de z à w donc |z| est la distance de z à 0 et |z-2| celle de z à 2.
Donc puisqu'elles sont égales z est sur la médiatrice du segment [0,2], donc z a pour partie réelle 1 et pour partie imaginaire un nombre indeterminé (pour l'instant).

A+

Posté par Revelli Revelli

Re-Bonjour,

J'apprécie beaucoup la démonstration d'Otto car apte à l'algèbre et à l'analyse, j'ai toujours eu beaucoup de mal avec la géométrie!

A+

Posté par otto otto

Oui la géométrie est une discipline assez peu enseignée après le collège, il faut bien l'avouer, et pourtant assez présente malgré nous dans la vie de tous les jours. C'est pourtant encore aujourd'hui, un domaine des mathématiques très actif.
En analyse complexe, il est souvent utile de se représenter géométriquement ce qui se passe (bien que l'on soit en dimension 2n )

Posté par J-P J-P

|Z| = |Z-2|
|Z|² = |Z-2|²

x²+y² = (x-2)²+y²
x²+y² = x²-4x+4 +y²
4x=4
x = 1

--> Z est dans le 1er ou le 3ème quadrant.
--> arg(Z) = arg(Z+1-i) [2Pi]

arctg(y/x) = arctg((y-1)/(x+1))
arctg(y) = arctg((y-1)/2)

y = (y-1)/2
2y = y-1
y = -1
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Z = 1 - i
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Saud distraction.