problème de mise en équation

Posté par southward1611 southward1611

Bonjour
La question est de d'étudier les variations d'une fonction f sur un intervalle donné. Rien de compliqué; je vais devoir calculer la fonction dérivée f', étudier son signe, et en déduire les variations de f.

seulement, je ne trouve pas l'expression de la fonction f.

les hypothèses :
ABCD carré de coté 4
E milieu [AD] et on considère M un point de [AB].
la perpendiculaire à (EM) en M coupe [BC] en N
on pose AM=x et f(x) l'aire du triangle ENM (rectangle)

=> f(x) ?
jusqu'à maintenant je me suis fondé sur le théorème de Pythagore : on trouve EM facilement (=(4-x[sup][/sup])) mais il me manque MN pour calculer l'aire du triangle.
J'ai aussi pensé à la trigonométrie mais on nous donne aucun angle donc ca risquerait d'être "compliqué"....

voila ; une réponse avant lundi serait bienvenue...
merci pour votre patience

Posté par matthieu1 (invité)

Bonjour,

je te conseille de définir un repère orthonormée dans le carré; (EM) et (MN) étant perpendiculaires, tu dois pouvoir exprimer le produit scalaire (nul) des vecteurs EM et MN. Tu peux exprimer les coordonnées des points E et M sans problème car ces points sont connus et remarquer ensuite que le point N a une de ses coordoonnées connue car le carré est d'arête 4. Autrement dit, l'expression du produit scalaire te permet de déduire la coordonnée du point N manquante, ce qui te permet de calculer la distance MN et donc d'exprimer l'aire recherchée.

Bon travail,
Matthieu.

Posté par franz franz



si tu considères le repère orthonormé tel que   et



vérifie soit



donc

L'aire du triangle vaut qui te donne une expression en

Posté par southward1611 southward1611

Merci d'avoir répondu si vite
Bien sûr EM= où avais-je la tête ?
Donc en résumé, il faut que j'utilise les formules du chapitre "produit scalaire", d'accord...sauf que voila cet exercice est situé en plein dans les dérivées et que le produit scalaire nous est totalement inconnu !
on ne pourrait pas utiliser d'autres outils que le produit scalaire ?... ou alors il y aurait des erreurs dans l'énoncé (55p118 Déclic premièreS)...
En tout cas merci pour votre aide

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Une piste...

Posté par southward1611 southward1611

Tiens tiens donc en fait, si =90- , alors cos=sin... je n'ai jamais vu cette formule... J'ai fait un travail fou sur les angles et la trigonométrie mais je ne retrouvais jamais une relation qui me permette d'isoler MN. Je pense qu'on ne me reprochera pas d'utiliser cela; en tout cas c'est beaucoup moins compliqué que le produit scalaire
Merci mille fois, ce fut très instructif.

PS:c'est la première fois que je poste un topic et je trouve le forum vraiment sympa

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

En fait :
a = 90-b
cos(a) = cos(90-b)
or cos(90-b) = sin(b) => tu es sûr de ne jamais avoir vu cela ?
donc cos(a) = sin(b)

Posté par southward1611 southward1611

Je ne pense pas avoir vu cela...on est passé très très vite sur la trigonométrie en seconde, vu qu'on était en retard et que la majeure partie des élèves n'allaient pas en S.
ce cos(90-b)=sin(b) c'est une propriété toute faite ou on peut la démontrer ? parce que la j'ai observé les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus, et aussi le cercle trigonométrique mais je n'arrive pas à faire le lien...

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Cela se démontre, mais je n'ai pas la bonne URL sous la main.
Si je la retrouve, je la poste ici.

Posté par southward1611 southward1611

ok merci

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Je n'ai toujours pas retrouvé mon URL, mais, pour te faire une idée rapide de ce résultat, trace le cercle trigonométrique, et place le point A correspondant à l'angle (prends =30° par exemple).
Les coordonnées de A sont, par définition, (cos, sin).

Place maintenant le point B correspondant à l'angle 90°- (dans notre exemple, 60°)
Les coordonnées de B sont, par définition, (cos(90-), sin(90-)).

Comme A correspond à l'angle , et B à l'angle 90°-, on peut facilement démontrer que A et B sont symétriques par rapport à la première diagonale (y=x).
Donc les coordonnées de B se déduisent de celles de A par simple interversion de l'abscisse et de l'ordonnée. Les coordonnées de B sont donc aussi (sin, cos)

Donc :
cos(90-)=sin
sin(90-)=cos

Posté par southward1611 southward1611

merci beaucoup je vois plus clair maintenant.
Cependant, pour revenir au problème de l'aire de EMN, il y avait une autre méthode. On pouvait tout simplement passer par une soustraction d'aires :
d'abord reconnaitre que l'angle AME = l'angle BNM et l'angle AEM = l'angle BMN (désolé je ne sais pas mettre le "chapeau" pour les angles), donc alors AME et MBN étant semblables, leurs dimensions sont proportionnelles.
on arrive aux relations AM/BN=ME/NM=AE/BM=2/(4-x)
on détermine l'aire de MBN. on détermine l'aire du trapèze ABNE, à laquelle on soustrait l'aire de AME+MBN et on trouve EMN ;voila c'est la correction du professeur ( bien plus longue, c'est vrai )
Bon merci tout de même, heureusement que ce n'était qu'un exercice d'entrainement ( très intéressant d'ailleurs )