exercices de maths spe ! ( nombres premiers ! )

Posté par Whitney Whitney

Bonjour !
J'ai besoin d'aide ! Je n'arrive pas du tout à faire mes exercices de spé !

voici les exercices en question:

1)Demontrer que si la somme de deux entiers est un nombre premier, alors ceux la sont premiers entre eux .
J'ai essaye de le faire par l'absurde: donc la somme de deux nombres non premiers m et n sous forme de facteurs premiers donne un nombre premier P. Mais je ne sais pas ou trouver l'"erreur" pour dire que ca ne marche pas !

2)a) Demontrer que f(n) =2n^2+29  est composé pour une infinité de n. ( il est premier pour tout n entier compris entre 0 et 28 )
La je ne sais pas du tout comment faire puisque en essayant aucun nombre f(n) n'a un facteur identique ( pour n29 c'est 7, pour n=30 c'est 59*31 ...)

b) etablir qu'il existe une infinité de valeurs de n pourlesquelles 31 divise f(n).
La pareil ! comment demontrer qu'il existe une infinité ?

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par Youpi Youpi

c'est bien par l'absurde que tu peux faire le premier imagine que deux nombre m et n ne soient pas 1er entre eux. alors m=p*a et n=p*b où est p est le facteur commun différent de 1
donc n+m=p(a+b) qui n'est pas premier car divisible par p et (a+b)!

Posté par Youpi Youpi

pour le 2) on constate que 2*29^2=1682=58*29 donc 2*29^2+29 est divisible par 29 donc pour n=29*p (quelqusoit p entier naturel non nul) on aura 2n^2+29 qui sera divisible par 29.

Posté par Whitney Whitney

j'ai compris le 1). Mais pour le 2) je n'ai pas bien compris! pourquoi pet on dire 2*29^2+29 est divisible par 29 et donc pour n=29*p c'est divisible par 29 ?  est ce que cela suffit pour dire quil existe une infinité ? car on a pas démontrer pour n=30 etc.
mais peut etre que dans tout les cas ca marche de ll meme manière ?
en tout cas merci beacoup ! ca m'a beaucoup aidée !

Posté par Youpi Youpi

la généralisation est : n=29*p donc 2n^2+29=2(29p)^2+29= 2*(29^2)*(p^2)+29 qui est bien divisible par 29

Posté par Youpi Youpi

pour le 2)b)
si n=31p+1 on a 2n^2+29= 2(31p+1)^2+29
soit 2n^2+29 = 2((31p)^2+2*31p +1)+29
donc 2n^2+29 = 2*31(31*(p)^2+2*p ) +31
qui est bien divisible par 31

remarque: ça marche également pour n=31p-1 (si p est non nul)