Bonjour,

En vecteurs tu as bd = bo + od = od - ob et non od + ob comme tu l'as écrit...

Oui tu as raison ; peux-tu m'indiquer comment transformer l'écriture pour établir l'égalaité des mesures des côtés stp ?

Merci

Bonjour,

Merci Mathafou ; ce qui m'interpelle dans l'énoncé, c'est qu'on demande de calculer le produit scalaire
2 ac.bd, alors que la perpendicularité des diagonales est/serait déjà établie avec ac.bd = 0

Je pense que ce qui est attendu c'est de faire des développements en introduisant O par la relation de Chasles, une fois avec ac, un fois avec bd, puis de mettre en évidence que ces produits (établis à partir de 2 ac.bd développé) sont nuls lorsque dans les facteurs des produits scalaires on trouve une somme de vecteurs opposés. je pense que c'est une piste de cette sorte qu'il faut chercher mais je ne trouve pas, si tant est que ce soit la bonne piste.

Donc j'étudie toutes les suggestions jusqu'à aboutir.

Merci de m'aider

les vecteurs ne sont pas opposés.
ils sont juste de sens contraire éventuellement, mais pas opposés (pas de même norme)
le produit scalaire est bien AC.BD = 0
on a bien
diagonales perpendiculaires équivallent à AC.BD = 0
il s'agit donc d'exprimer ce produit scalaire pour faire intervenir les carrés des côtés.
faire juste intervenir le seul point O conduira à une évidence sans intéret 0 = 0
s'inspirer peut être de la démonstration du théorème de Pythagore "par les produits scalaires" :

OAB triangle rectangle en O OA.OB = 0
AB² = (OB - OA)² = OB² - 2OA.OB + OB²
donc OAB triangle rectangle en O AB² = OB² + OB²
qui est bien le théorème de Pythagore.

en exprimant ainsi (via des produit scalaire comme ci-dessus, histoire de "faire plaisir à l'énoncé")
AB² + CD² = OA² + OB² + OC² + OD²
et séparément
AD² + BC² = OA² + OB² + OC² + OD²
on a bien la condition
ABCD orthodiagonal AC.BD = 0 AB² + CD² = AD² + BC²

mais je ne vois pas comment faire intervenir directement les produits scalaires AC.BD dans le développement de AB² + CD² et de AD² + BC²

salut, on peut montrer directement que:

>> Mathafou ; alb12

je pense que vous me mettez tous les deux sur la bonne piste

Il me faut juste, pour respecter l'ordre de l'énoncé, par établir l'égalité notée par alb12, puis conclure sur la base des démonstrations de Mathafou.

>> Alb12 : peux tu me mettre sur la piste pour démontrer cette égalité stp ?. J'ai essayé en développant deux fois le produit scalaire ac.bd, avec des variantes différentes de la relation de Chasles, je ne parviens pas à trouver une expression qui ne laisse que les carrés scalaires des 4 côtés du quadrilatère.
Merci de me fournir une amorce pour cette démonstration

Cordialement, et merci pour le temps que vous m'avez déjà consacré.

factoriser BC^2-AB^2

Oui, c'est évident quand on part de ce côté de l'égalité, mais partir de 2ac.bd pour aboutir au premier membre de l'égalité que tu as mentionnée, ça l'est moins, en tout cas pour moi.

En tout cas merci beaucoup pour ces éléments de réponses.

Merci aussi à mathafou.

Conclusion : quelle que soit la forme du quadrilatère abcd, ses diagonales se coupent à angle droit ssi la somme des carrés des longueurs de 2 cotés opposés est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés opposés.

Encore merci pour vos aides