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relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scalaire

Posté par
pppa 04-07-14 à 12:54

Bonjour

pouvez-vous svp m'aider à tremiber cet exercice :

Soit 3 points a,b et c appartenant à une droite orientée (D)

1/ Démontrer que : CA^2.\bar{bc}+CB^2.\bar{ca} = \bar{ca}.\bar{bc}.\bar{ba}  (FAIT)

2/ Soit m un point quelconque du plan contenant (D).
   a/ Former les carrés scalaires des vecteurs \vec{ma}= \vec{mc}+\vec{ca} et \vec{mb}= \vec{mc}+\vec{cb}  (FAIT)

   b/ Etablir alors la relation de STEWART : MA^2.\bar{bc} + MB^2.\bar{ca} + MC^2.\bar{ab} + \bar{ca}.\bar{bc}.\bar{ab} = 0.

A partir des résultats des questions 1 et 2a et après simplifications, j'arrive à l'égalité

MA^2.\bar{bc} + MB^2.\bar{ca} + MC^2.\bar{ab} + \bar{ca}.\bar{bc}.\bar{ab} = 2.(\vec{mc}.\vec{ca}.\bar{bc} + \vec{mc}.\vec{cb}.\bar{ca}) (*)

Je remplace m par m', projeté orthogonal de m sur (D), ce qui ne change pas les produits scalaires
\vec{mc}.\vec{ca} et \vec{mc}.\vec{cb}.

Il faut que j'établisse que le second membre de (*) est nul, ce que je vérifie sur un schéma, ce que je n'arrive pas à montrer sauf à démultiplier les cas selon les positions de a, b, c et m' les uns par rapport aux autres, ce qui me paraît inutile et compliqué.

Merci par avance pour votre aide

Posté par
francois5re : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 14:07

Bonjour, voici un calcul "rapide" en utilisant 1 et 2a :
MA^2+\vec{BC}+MB^2+\vec{CA}+MC^2\vec{AB}=(MC^2+MA^2+2\vec{MC}\cdot\vec{CA})\vec{BC}+(MC^2+MB^2+2\vec{MC}\cdot\vec{CB})\vec{CA}+MC^2\vec{AB}

En faisant alors des "bons" regroupements :
MA^2+\vec{BC}+MB^2+\vec{CA}+MC^2\vec{AB}=MC^2(\vec{BC}+\vec{CA}+\vec{AB})+CA^2\vec{BC}+CB^2\vec{CA}+2\vec{MC}\cdot (\vec{CA}\cdot\vec{BC} + \vec{CB}\cdot\vec{CA} )

Les deux parenthèses dans le membre de droite sont nulles par relation de Chasles.

Tu peux alors utiliser le résultat de la question 1 :
MA^2+\vec{BC}+MB^2+\vec{CA}+MC^2\vec{AB}=CA^2\vec{BC}+CB^2\vec{CA}=\vec{CA}\cdot\vec{BC}\cdot\vec{BA}

Enfin en changeant de membre, tu changes le sens d'un vecteur (visiblement \vec{BA} pour coller au texte)

Posté par
carpediemre : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 14:08

salut

relation de Chasles
relation de Chasles
relation de Chasles
relation de Chasles
relation de Chasles
relation de Chasles
relation de Chasles
relation de Chasles

....

Posté par
carpediemre : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 14:08

Posté par
francois5re : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 14:09

Euh, j'ai mis trop de + dans les membres de gauche !
Il faut bien-sûr lire :
MA^2\vec{BC}+MB^2\vec{CA}+MC^2\vec{AB}

Posté par
pppare : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 17:13

Bonjour François, bonjour Carpediem

Merci d'être intervenus.

On peut se demander pourquoi j'ai sollicité de l'aide à ce niveau de l'exercice, puisqu'il ne manquait pas grand chose pour terminer.

Ce qui m'a perturbé, c'est que ce ne sont pas partout des vecteurs, mais il y a des mesures algébriques

et lorque j'aboutis à MA^2.\bar{bc}%20+%20MB^2.\bar{ca}%20+%20MC^2.\bar{ab}%20+%20\bar{ca}.\bar{bc}.\bar{ab}%20=%202.(\vec{mc}.\vec{ca}.\bar{bc}%20+%20\vec{mc}.\vec{cb}.\bar{ca}), je pensais/pense
ne pas pouvoir mettre \vec{mc} en facteur commun, étant lui-même premier facteur de deux produits scalaires.

Selon moi 2.(\vec{mc}.\vec{ca}.\bar{bc}%20+%20\vec{mc}.\vec{cb}.\bar{ca}) ne permet(trait) pas de pouvoir écrire 2.\vec{mc}.(\vec{ca}.\bar{bc}%20+\vec{cb}.\bar{ca}) ; est-ce que je me trompe ? merci de me dire.

C'est vrai que s'il n'y a pas d'abus d'écriture, alors on aboutit (aisément)  au résultat demandé, et que pour l'instant je ne vois pas d'autre moyen d'y parvenir.

merci pour commentaires.

Posté par
pppare : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 18:02

je pense avoir trouvé une solution qui me "satisfait"

j'en reviens au point m' mentionné dans mon premier message, de sorte que a,b, c et m' appartiennt à la droite (D) orientée par le vecteur unitaire \vec{i} :

Ds ces conditions, on a :
2.(\vec{m'c}.\vec{ca}.\bar{bc}%20+%20\vec{m'c}.\vec{cb}.\bar{ca}) \\ = 2.(\bar{m'c}\vec{i}.\bar{ca}\vec{i}.\bar{bc} + \bar{m'c}\vec{i}.\bar{cb}\vec{i}.\bar{ca})

Le carré scalaire du vecteur unité \vec{i} valant 1 on a

    2.(\bar{m'c}\vec{i}.\bar{ca}\vec{i}.\bar{bc} + \bar{m'c}\vec{i}.\bar{cb}\vec{i}.\bar{ca}) \\ = 2.(\bar{m'c}.\bar{ca}.\bar{bc} + \bar{m'c}.\bar{cb}.\bar{ca}) \\ = 2.[(\bar{m'c}.\bar{ca}.(\bar{bc} + \bar{cb})] \\ =2.[(\bar{m'c}.\bar{ca}).0] = 0

Qu'en dites-vous ?

Posté par
lafol Moderateurre : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 18:14

Bonjour

Citation :
Soit m un point quelconque du plan contenant (D).

comment un point peut-il contenir une droite ?

sinon, oui, choisir un vecteur unitaire qui oriente (D) est une bonne méthode

Posté par
lafol Moderateurre : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 18:17

tout de même, en admettant que tu aies inversé "contenant" et "contenu" : m serait lui aussi sur (D), ce qui d'ailleurs est le seul moyen de donner un sens aux mesures algébriques \bar{ma}, \bar{mb}, \bar{mc} ....
nouveaux pour :

Citation :
Je remplace m par m', projeté orthogonal de m sur (D)

Posté par
lafol Moderateurre : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 18:20

de manière générale, si les points sont tous sur la même droite orientée, produit scalaire ou produit des mesures algébriques, c'est la même chose.

Posté par
lafol Moderateurre : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 18:37

ma^2=(\bar{mc} + \bar{ca})^2 = mc^2 + ca^2 + 2\bar{mc}.\bar{ca} \\ mb^2=(\bar{mc} + \bar{cb})^2 = mc^2 + cb^2 + 2\bar{mc}.\bar{cb}

d'où ma^2\bar{bc} + mb^2\bar{ca} = mc^2(\bar{bc}+\bar{ca}) + ca^2\bar{bc} + cb^2\bar{ca} + 2\bar{mc}(\cancel{\bar{ca}.\bar{bc}+\bar{cb}.\bar{ca}}}) = mc^2\bar{ba} + \bar{ca}(\bar{ca}.\bar{bc} + \bar{bc}^2) = mc^2\bar{ba}+\bar{ca}.\bar{bc}(\bar{ca}+\bar{bc}) = mc^2\bar{ba}+\bar{ca}.\bar{bc}.\bar{ba}

Posté par
lafol Moderateurre : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 18:46

ou peut-être aurait-il fallu lire "soit m un point quelconque d'un plan contenant (D)" (contenant se rapportant alors au plan)

pour répondre à ton interrogation sur la mise en facteurs : n'oublie pas qu'un produit scalaire est une forme bilinéaire :

2.(\bar{bc}.\vec{mc}.\vec{ca} + \bar{ca}.\vec{mc}.\vec{cb}.) = 2(\vec{mc}.(\bar{bc}.\vec{ca}) + \vec{mc}.(\bar{ca}.\vec{cb})) = 2\vec{mc}.(\bar{bc}.\vec{ca}+\bar{ca}.\vec{cb})

et là tu peux faire ta simplification

Posté par
pppare : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 19:09

Bonjour Lafol

L'énoncé stipule bien "Soit m un point quelconque du plan contenant (D).", mais j'avais compris - et en toute modestie je ne pense pas avoir fait ici d'erreur d'interprétation

1/Soit m un point quelconque
2/  du plan (appelons-le P) contenant la droite (D)

Donc m P ; m (D) (ou à la rigueur pourrait lui appartenir) et (D) P.

J'ai raisonné en supposant  m (D), et il n'y a dans mes développements aucune mesure algébrique avec m, ce qui comme tu l'écris serait évidemment un non-sens, d'où mon idée de me baser sur m' projeté orthogonal de m  sur (D).

Ceci dit, tu as bien fait de me rappeler une des propriétés des formes bilinéaires symétriques, je ne les avais pas présentes à l'esprit en faisant mes calculs.

Merci pour ton intervention.


Ah! le match va reprendre......

Posté par
lafol Moderateurre : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 19:26

c'est le "du" qui m'a gênée
si on est dans l'espace, il y a bien plus d'un plan contenant (D)
si on est dans le plan, à quoi bon rappeler "contenant (D)" ? elle serait où sinon ?

Posté par
pppare : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 20:23

Je comprends ; ce n'est pas la première fois que les énoncés des exercices du livre dont celui-ci provient me posent problème par rapport à la façon dont ils sont rédigés...

C'est un constat, pas une critique, je veux rester humble par rapport au savoir des auteurs de ce livre..

Merci encore pour ton aide.

Dois-je souhaiter une bonne soirée? vu que la France est éliminée de la coupe du monde, surtout par qui on sait ....

Posté par
lafol Moderateurre : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 20:40

c'est bon ? on est débarrassés de cette coupe ? ouf !
sisi, bonne soirée, comme les autres, peut-être meilleure : on va recommencer à voir les afficionados qui jusque là restaient vautrés dans leur canapé leur bière à la main !

Posté par
pppare : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 04-07-14 à 20:44

Oh! Ca c'est pas gentil!!! pas gentil du tout

je te retrouverai quand même avec plaisir à l'occasion ; merci pour ton intervention

Posté par
carpediemre : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 05-07-14 à 14:45

Citation :
c'est bon ? on est débarrassés de cette coupe ? ouf !  
sisi, bonne soirée, comme les autres, peut-être meilleure : on va recommencer à voir les afficionados qui jusque là restaient vautrés dans leur canapé leur bière à la main !


saleté d'allemands ... bon à rien mauvais en tout de français qui ont déjouer ....

j'espère qu'on va voir du beau jeu ce soir ...




Citation :
Ce qui m'a perturbé, c'est que ce ne sont pas partout des vecteurs, mais il y a des mesures algébriques


oui écrire \bar{AB} ou \vec{AB} lorsqu'on est sur une droite c'est la même chose

et la connaissance de la mesure algébrique simplifie grandement la rédaction du théorème de Thalès par exemple (dans sa réciproque notamment) ...

Posté par
pppare : relation de Stewart sur une droite orientée ; produit scala 05-07-14 à 15:37

Citation :
oui écrire \bar{AB} ou \vec{AB} lorsqu'on est sur une droite c'est la même chose


Bien sûr, sauf que j'ai considéré que l'énoncé stipulait que le point M n'était pas sur (AB).

Mais j'aurais dû d'emblée aller au bout de mon raisonnement avec M' p.o. de M sur (AB).

Bon je pense qu'on en reste là pour cet exercice, tout comme pour notre participation à la coupe du monde de football de laquelle nos valeureux bleus peuvent sortir, contrairement à 2010 et 2002, la tête haute et sans rougir de honte.



Merci encore à celles et ceux qui m'ont aidé par leurs interventions


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