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Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle

Posté par
Integrale 22-07-14 à 15:50

Bonjour,

Afin de résoudre une équation différentielle par la variation de la constante, j'ai eu à résoudre l'intégrale suivante :

\int_{\, }^{x}\left ( 2t^{2}-2 \right )e^{t^{2}-2t}dt

Et je n'ai absolument pas vu comment la résoudre. Après avoir tenté les méthodes de résolution usuelles (IPP, etc...) j'ai supposé que la solution était de la forme \left ( ax+b \right )e^{x^{2}-2x}, j'ai dérivé cette expression, et j'ai identifié les coefficients a et b(tous les deux valent 1).

Ma question n'est donc pas de savoir cette intégrale (puisque j'ai réussi à la résoudre), mais comment on s'y prend dans le cas général pour résoudre ce genre d'intégrale (polynômes de degré 2 dans les exponentielles).

D'avance merci.

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:02

Bonjour

Tu t'es trompé. Cette intégrale n'a aucune primitive exprimable en fonctions élémentaires.

Redérive (x+1)e^{x^2-2x}

Posté par
Razesre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:03

Je ne pense pas qu'il y est une règle générale de résolution. Car il y a des intégrales plus ou faciles à résoudre.

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:03

D'ailleurs, donne-nous l'équation qui t'a mené à ça!

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:09

La solution ne me semble pas être celle que tu as indiquée.

En dérivant F(x) = (x+1).e^(x²-2x) , on arrive à F'(x) = (2x²-1).e^(x²-2x)

et pas à (2x²-1).e^(x²-2x)

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:10

Oups, double emploi.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:11

Lire
... et pas à (2x²-2).e^(x²-2x)


Posté par
Integralere : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:13

Oui excusez-moi, je me suis trompé en recopiant, c'est bien \int_{\, }^{x}\left ( 2t^{2}-1 \right )e^{t^{2}-2t}dt que je voulais résoudre.

L'équation qui m'a mené à cela est la suivante :

y'(x)=2y(x)+(2x^{2}-1)e^{x^2}

Posté par
Razesre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:16

Il y a des intégrales qui se résolvent facilement par intégration par partie en passant pas les changements de variables.

Mais des fois cela s'avère plus difficile et même laborieux et dans ce cas, on a recours à un encadrement de la fonction par des suites dont les intégrales de part et d'autres convergent vers la même valeur. Par exemple l'intégrale de Gauss qui parait simple d'un premier abord mais dont le calcul est laborieux.

Posté par
carpediemre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:24

salut

(2t^2 - 2t)e^{t^2 - 2t} = 2(t + 1)(t -1)e^{t^2 - 2t} = (t + 1)[e^{t^2 - 2t}]'

...

Posté par
carpediemre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:27

pardon

(2t^2 - 2t)e^{t^2 - 2t} = 2t(t - 1)e^{t^2 - 2t} = t[e^{t^2 - 2t}]'

... puis IPP ... puis linéarisation ... puis ... voir son cours de proba ...

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:30

Bon, l'exo a été fait pour qu'il marche... En général les produits polynôme exponentielle n'ont pas de primitives exprimables en fonctions élémentaires.

Posté par
Integralere : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:31

Merci à tous pour vos réponses

Posté par
carpediemre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:46

dans tous les cas une primitive de la fonction P(x)e^{Q(x)} où P et Q sont des polynômes est une fonction R(x)e^{Q(x)}

...

Posté par
Razesre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 16:49

y'(x)=2y(x)+(2x^{2}-1)e^{x^2}

Nous la deux composantes dans la solution,, une solution générale sans second membre y'(x)=2y(x) qui est y(x)=Ae^{2x} avec A constante et une solution particulière de la forme y=f(x)e^{x^2} que nous remplaçons dans l'équation différentielle et nous obtenons:

\left ( f'(x) +2xf(x)\right )e^{x^2}=2f(x)e^{x^2}+(2x^{2}-1)e^{x^2} ce qui devient :

f'(x) +2(x-1)f(x)=2x^{2}-1 en comparant les degrés de chaque terme, d'où f(x)=Bx+C

Nous avons donc:
B +2(x-1)(Bx+C)=2x^{2}-1\Leftrightarrow 2Bx^2+2(C-B)x+B-2C=2x^{2}-1\Leftrightarrow B=C=1  

Donc: y(x)=(x+1)e^{x^2}+Ae^{2x} avec A est une constante

Posté par
Integralere : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 22-07-14 à 17:44

Merci beaucoup pour cette réponse détaillée.

Posté par
delta-Bre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 23-07-14 à 01:42

Bonsoir

La méthode de la variation de la constante revient bien à trouver une primitive de (2x^2-1)e^{x^2)

@Carpediem

Citation :
dans tous les cas une primitive de la fonction P(x)e^{Q(x)} où P et Q sont des polynômes est une fonction R(x)e^{Q(x)}

Donnes-moi alors une primitive de e^{x^2} .
Comme l'a fait remarquer Camélia
Citation :
En général les produits polynôme exponentielle n'ont pas de primitives exprimables en fonctions élémentaires.


Si P(x) est de degré supérieur ou égal à celui de Q'(x), ou aura alors P(x)=T_1(x)Q'(x)+R_1(x) et

\int P(x)e^{Q(x)}dx=P_1(x)e^{Q(x)}-\int T'_1(x)e^{Q(x)}dx+\int R_1(x)e^{Q(x)}dx=P_1(x)e^{Q(x)}-\int (T'_1(x)-R_1(x))e^{Q(x)}dx_

On arrive ainsi à: \int P(x)e^{Q(x)}dx=P_1(x)e^{Q(x)}-\int T'_1(x)e^{Q(x)}dx+\int R_1(x)e^{Q(x)}dx=P_1(x)e^{Q(x)}+\int P_2(x)e^{Q(x)}dx_   où P_2(x)=R_1(x)-T'_1(x)

On remarque alors que l'intégration par parties fait apparaitre  une intégrale de la même forme, le degré de P est diminué de d+1 où d=deg(Q'). Si à une étape on arrive à \int Q'(x)e^{Q(x)}dx ce qui nécessite deg(P)=k(d+1)+1, l'intégration est finie et les primitives de P(x)e^{Q(x)} sont de la forme T(x)e^{Q(x)}+C où deg(T)=deg(P)-deg(Q'). Ceci sera possible en particulier si P(x)=K(Q'(x))^{k(d+1)+1} ou encore si P(x)=\sum_{k=0}^p C_k (Q'(x))^{k(d+1)+1}

Si deg(P)\ne p(d+1)+1, il ne sera possible de trouver une primitive de P(x)e^{Q(x)} sous la forme T(x)e^{Q(x)} où T(x) est un polynôme.
Dans le cas de (2x^2-1)e^{x^2}, la condition sur le degré de P est vérifiée, il est peut-être alors possible de trouver une primitive de  (2x^2-1)e^{x^2} sous la forme (ax+b)e^{x^2}

Posté par
delta-Bre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 23-07-14 à 07:49

Bonjour.

Des erreurs se sont glissées dans ce que j'avais écrit.
........ ce qui nécessite deg(P)=k(d+1)\red{+d}.......
L'assertion:

Citation :
Ceci sera possible en particulier si P(x)=K(Q'(x))^{k(d+1)+1} ou encore si P(x)=\sum_{k=0}^p C_k (Q'(x))^{k(d+1)+1}    

est  fausse. Elle n'est valable que pour que d=1 ie.
Ceci sera possible en particulier si P(x)=K(Q'(x))^{2k+1} ou encore si P(x)=\sum_{k=0}^p C_k (Q'(x))^{2k+1}  

Posté par
carpediemre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 23-07-14 à 12:57

oui j'ai été un peu vite en généralisation ... ceci n'est possible que sous certaines contraintes de degré ...

Posté par
delta-Bre : Intégrale avec polynôme de degré deux dans l'exponentielle 23-07-14 à 14:19

Bonjour.

Une autre erreur:
Si \deg(P)\ne p(d+1)+d, il ne sera possible de trouver ........


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