o=a.(n+a²-2.b)+q/b

ob=ab.(n+a²-2.b)+q

ob=ab.(n+a²)-2.ab²+q

2ab² - b(an+a³-o) - q = 0

b = [(an+a³-o) +/- V((an+a³-o)²+8qa)]/(4a)  (1)
-----

p=q.a/b + b.(n+a²-b)
pb=q.a + b².(n+a²-b)
a²b² + q.a + b²(n-b) - pb = 0

a = [-q +/- V(q² - 4b²(b²(n-b) - pb))]/(2b²)  (2)
-----
Dans (1), on remplace a par son expression (2) ... et on a b en fonction de n,o,p et q

Dans (2), on remplace b par son expression (1) ... et on a a en fonction de n,o,p et q
-----

Calcul non vérifiés.

salut, quel est le pb qui conduit à ce systeme tres "interessant" ?

Bien dit alb12, c'est du calcul bête et méchant si au moins on connait le contexte qui a aboutit à ce système de 2 équations.

Ce qu'à fait J-P est largement suffisant.

merci j-p remplacer a dans (2) ou b dans (1) aboutis à une équitation du 6 éme degré qui n'est édente à resoudre

C'est ce que je disais, c'est un calcul bête et méchant avec beaucoup de risques d'erreurs, car on aboutit:

Bonjour.

Ce système est non linéaire mais polynomial après réduction au même dénominateur.

on peut essayer de le résoudre par la méthode de substitution. Ceci sera faisable si on peut exprimer à partir de l'équation disons l'une des variable disons   en fonction de l'autre , quitte à réordonner les équations et (ou) à permuter les 2 inconnues, on ramène alors l'équation (2) à la forme F(b)=0 où F n'est plus nécessairement une fonction polynomiale. Tout va donc dépendre de la possibilité de résoudre l'équation F(b)=0.

v signifie racine carré +/-   + ou -  

Désolé Hakim,
Le v est une erreur, le résultat est le suivant:



Même là, c'est possible qu'il y est des erreurs.

On peut aussi écrire le système ainsi:


et aussi:

Bonjour.

@Razes
Ce tu viens d'écrire ne fait plus apparaitre d'équations. Tu veux dire peut-être:

           et          

bonjour

euh, JP, tu es certain ? quand on fait ce que tu dis, on arrive à a = expression bien compliquée en a, et b = expression bien compliquée en b, il reste donc des résolutions à faire pour en extraire a et b, non ?

Oui, il reste effectivement à résoudre...

On peut le faire facilement sur une calculette graphique (si on a les valeurs numériques des constantes).

C'est le genre de problème qu'il vaut mieux confier à un logiciel de calcul formel pour éviter les erreurs. On s'aperçoit alors que ce système de deux équations en deux inconnues et à paramètres a dix solutions (complexes), le nombre de solutions réelles dépendant bien sûr des valeurs des paramètres. La coordonnée des solutions est racine du polynôme



et la coordonnée est un polynôme en à coefficients dépendant des paramètres.
Si on fixe des valeurs des paramètres, le logiciel de calcul formel renverra les solutions réelles certifiées.

si HAKIM_ZEGHAD veut verifier par lui-meme, sur Xcas on peut faire:

E1:=a*b*(a^2-2b+n)+q-o*b;
E2:=b^2*(a^2-b+n)+a*q-b*p;
P:=normal(resultant(E1,E2,b)):;
CP:=tran(coeff(P,a)) // les 11 coefficients en colonne
Q:=normal(resultant(E1,E2,a)/b):;
CQ:=tran(coeff(Q,b)) // les 11 coefficients en colonne

mais quel interet de savoir que a et b sont racines d'un polynome de degre 10 ?

donc on utilise une méthode numérique pour la résolution de ce système  

L'intérêt est qu'on peut trouver les racines réelles quand on fixe les valeurs des paramètres, et ainsi résoudre le système.

Semi-numérique : on utilise le calcul formel pour ramenr le problème à la résolution d'une équation (de degré 10 ici) en une variable. Ensuite, on peut encore utiliser des méthodes formelles-numériques, une fois qu'on a fixé les paramètres, pour obtenir des racines réelles certifiées à la précision voulue.

le logiciel fournira directement les solutions approchees du systeme, non ?

@alb12 : que veux-tu dire ?

Il me semble intéressant par exemple de savoir que le nombre de solutions complexes du système est 10, ce que fournit le calcul formel.

Une remarque : les deux équations en et sont de degré total 4. Le théorème de Bézout laisse prévoir 16 solutions. Mais le théorème de Bernstein qui est plus précis que Bézout donne bien, par le calcul du volume mixte des deux polygones de Newton des équations, les 10 solutions trouvées par le calcul d'une base de Groebner de l'idéal engendré par les équations.

n:=10;o:=3;p:=7;q:=5;
E1:=a*b*(a^2-2b+n)+q-o*b;
E2:=b^2*(a^2-b+n)+a*q-b*p;
csolve([E1,E2],[a,b]);

la derniere commande donne:

Reste à savoir ce que fait csolve ... m'est avis qu'il résoud un polynôme de degré 10.
Et il faut savoir si le résultat est certifié : par exemple, y a-t-il vraiment deux racines réelles ?
Ceci demande une réponse exacte, qu'un algorithme purement numérique ne fournira pas en général.

le debat depassant mes competences, je vous laisse entre specialistes ici

Je ne pense pas que Parisse dise des choses contradictoires avec ce que je dis, bien au contraire.
Déjà, la "RUR" (représentation univariée rationnelle) a pour principe essentiel de ramener un système d'équations ayant un nombre fini de solutions à une seule équation en une seule variable : c'est ce qui est fait plus haut avec l'équation en de degré 10.
Parisse mentionne l'algorithme d'Akritas (ou ses améliorations) pour certifier les racines réelles. C'est par exemple ce qui est mis en oeuvre dans le real_root de Sage (pour parler d'un concurrent de Xcas). Ce n'est pas un algorithme purement numérique.

Enfin, tout dépend de ce qu'on veut étudier. Si c'est juste obtenir les solutions réelles pour un jeu donné de paramètres, autant fixer les paramètres dans le système dès le début.
Si on ne fixe pas les paramètres d'entrée, c'est par exemple qu'on est intéressé à savoir comment varie le nombre de solutions réelles du système en fonction des paramètres. Et pour ça ramener le système à une équation en la seule variable de degré 10 dont les coefficients sont des polynômes en les paramètres est très utile.

ok, je suis convaincu ! Je pense que HAKIM_ZEGHAD a toutes les cartes pour continuer la resolution de son pb que nous ignorons ...

merci à tous
j'ais compris que mon pb ne peut être résolut analytiquement mais y a-t-il une méthode pour résoudre ce types d'équations? j'ais pas de calculette graphique ou de logiciel, si j'ais la méthode je peut faire l'algorithme    

Tu as un ordinateur, non ? Donc tu peux télécharger Xcas ou Sage, qui sont gratuits. Ou même, les utiliser en ligne.
Programmer toi-même un algorithme de calcul de base de Groebner, je ne te le conseille vraiment pas !