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Niveau Licence Maths 1e ann
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Thm des fct implicites et C^1-diffeomorphismes

Posté par
GWa
22-07-14 à 23:01

Bonjour,
Je suis entrain de lire un polycop sur la mesure et l'intégration.
Après avoir défini les notions de fonctions différentiables en un point et sur un ensemble, de fonction de classe C^1, de difféomorphisme et de C^1-difféomorphisme(voir définitions plus bas), l'auteur énonce une proposition qui servira à justifier une formule sur les changement de variables, sans la démontrer mais assure que l'on peut la prouver en utilisant le théorème des fonctions implicites. Le soucis c'est que je ne vois pas comment faire. Je connais la version simple du théorème des fonctions implicites, dans R^n, mais je vois mal comment l'appliquer dans notre cas.
Voici l'énoncé (qui n'est pas une définition!) qui me pose problème:

Soit U, V  \subset \mathbb{R}^d deux ouverts non vides. Une application \phi:U\to V est un C^1-difféomorphisme si et seulement si \phi est bijective, de classe C^1 et si la différentielle ("differential" en angais) de \phi en x,\ D_x(\phi) est une application linéaire inversible pour tout x\in U. On a alors D_y(\phi^{-1})=D_x(\phi)^{-1}.

J'arrive à montrer le sens \Rightarrow, mais je peine à montrer le sens \Leftarrow. Il faut montrer que si \phi est bijective, de classe C^1 et \ D_x(\phi) est inversible, alors \phi^{-1} est aussi de classe C^1.
J'imagine que c'est là qu'il faut utiliser le théorème des fonctions implicites, probablement une version assez générale. Un premier pas serait de montrer que \phi^{-1} est différentiable et pour cela, il suffirait de montrer que
\underset{\|\delta \| \to 0}{\lim}\frac{\phi^{-1}(y+\delta)-\phi^{-1}(y)-(D_{\phi^{-1}(y)}(\phi))^{-1}(\delta)}{\| \delta \|}=0
mais malheureusement je ne sais pas comment faire.

Je mets ici les définitions des notions citées plus haut comme elles sont présentées dans l'ouvrage que je lis:
U,V\subset \mathbb{R}^d,\phi:U\to V

1)Pour x\in U, \phi est différentiable si il existe une application linéaire T:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}^d telle que
\phi(x+h)=\phi(x)+T(h)+o(\|h\|) pour tout h dans \mathbb{R} (on peut prouver sans trop de difficulté que si elle existe une telle application est unique). Si elle existe on la note T=D_x(\phi).
2) L'application \phi est differentiable sur U si elle est différentiable pour tou x dans U et \phi est de classe C^1 si l'application
 \leftbrace  \begin{array}{rcl}
 \\ U & \to &L(\mathbb{R}^d)\\
 \\ x& \mapsto & D_x(\phi)
 \\   \end{array}  \right.
est continue sur U, où L(\mathbb{R}^d) est l'espace vectoriel des applications linéaires de \mathbb{R}^d vers lui-même.
3)L'application \phi est un difféomorphisme (resp. un C^1-difféomorphisme) sur U si \phi est différentiable (resp de classe C^1) sur U, bijective, et son invsere \phi^{-1} est également différentiable (resp. de classe C^1) sur V.

Voilà. Si vous avez ne serait-ce qu'une idée de preuve, ce serait le bienvenu. Merci de m'avoir lu.

Posté par
Robot
re : Thm des fct implicites et C^1-diffeomorphismes 22-07-14 à 23:17

Le théorème qu'on utilise ici est le théorème d'inversion locale, qui est en gros équivalent au théorème des fonctions implicites. Tu connais le théorème des fonctions implicites et pas celui d'inversion locale ?
Tu peux obtenir le théorème d'inversion locale en appliquant le théorème des fonctions implicites à l'équation \phi(x)-y=0 pour obtenir x en fonction de y au voisinage de (x_0,\phi(x_0))

Posté par
ThierryPoma
re : Thm des fct implicites et C^1-diffeomorphismes 23-07-14 à 00:19

Bonsoir,

Citation :
[L]e théorème d'inversion locale (...) est en gros équivalent au théorème des fonctions implicites (...)


Pourquoi préciser "en gros" ?

Thierry

Posté par
_red
re : Thm des fct implicites et C^1-diffeomorphismes 23-07-14 à 07:21

Bonjour,

Il me semble que le théorème d'inversion locale est l'application dans tout espace de Banach, et la restriction au plan est appelée théorème des fonctions implicites.

Sinon, j'ai toujours pensé qu'il s'agissait d'un seul et même théorème... Peut-être sauriez-vous m'éclairer sur le sujet

Posté par
Robot
re : Thm des fct implicites et C^1-diffeomorphismes 23-07-14 à 09:18

Non _red, la différence entre théorème d'inversion locale et théorème des fonctions implicites ne tient pas au fait que l'un se passe dans un Banach et l'autre dans le plan.
Et je dis qu'ils sont en gros équivalents parce que l'un se déduit de l'autre facilement, et vice-versa. J'ai indiqué un sens dans mon premier message.

Posté par
_red
re : Thm des fct implicites et C^1-diffeomorphismes 23-07-14 à 09:42

Au temps pour moi et merci  bien ~Robot

Posté par
GWa
re : Thm des fct implicites et C^1-diffeomorphismes 23-07-14 à 14:40

Merci à vous pour vos réponses.

Alors Robot, je connais le théorème de l'inversion locale, mais seulement dans R^n, mais je ne vois pas comment l'utiliser dans le cas présent. Plus particulièrement, j'ai de la peine à voir comment montrer que \phi^{-1} est différentiable. Pourriez-vous me donner plus d'indications s'il-vous-plaît.
Quelqu'un connaît-il l'énoncé général théorème du théorème des fonctions implicites? D'après les messages de _red et robot, il semblerait qu'il y ait un énoncé topologique plus général que celui de R^n.

Posté par
Robot
re : Thm des fct implicites et C^1-diffeomorphismes 23-07-14 à 14:53

Si tu connais le théorème d'inversion locale dans \R^n, je ne comprends pas quelle difficulté tu as à l'appliquer dans \R^d
Tu es juste dans les hypothèses d'application du théorème d'inversion locale, en tout point  x\in U.
Les théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites se généralisent à des espaces de Banach, mais ici \R^n suffit à ton bonheur, et ce n'est pas la peine de chercher midi à quatorze heures.

Posté par
GWa
re : Thm des fct implicites et C^1-diffeomorphismes 23-07-14 à 23:04

Encore une fois merci pour ta réponse Robot.
n ou d, peut importe, mais ce qui me pose problème en fait (je le réalise maintenant), c'est plutôt la définition de classe C^1.
Je me doute qu'on a pas choisi d'appeler deux concepts différents par le même nom, mais j'arrive pas à voir l'équivalence entre les deux (l'autre étant "une fonctions \phi:U\subset \mathbb{R}^n\to V\subset\mathbb{R}^n est de classe C^1(U) si toutes les dérivées partielles de ces composantes existent et sont continues"). Hors le théorème de l'inversion locale utilise la deuxième version (en général).
Mais c'est certainement équivalent et je vais m'y atteler. Merci encore pour ton aide.

Posté par
Robot
re : Thm des fct implicites et C^1-diffeomorphismes 23-07-14 à 23:37

D'accord, je n'avais pas compris que ton problème était avec les différentes caractérisations de la classe C^1.
Il y a un sens de l'équivalence qui est facile (x\mapsto D_x\phi continue entraîne dérivées partielles continues). Pour l'autre sens on écrit (je fais pour deux variables) \phi(x_1+h_1,x_2+h_2)-\phi(x_1,x_2)= (\phi(x_1+h_1,x_2+h_2)-\phi(x_1+h_1,x_2))+(\phi(x_1+h_1,x_2)-\phi(x_1,x_2)) et on utilise les dérivées partielles , et leur continuité pour montrer la différentiabilité.

Posté par
GWa
re : Thm des fct implicites et C^1-diffeomorphismes 25-07-14 à 11:56

Salut Robot,

Merci pour ta réponse que je ne vois que maintenant. A force patience et avec minutie, j'ai tout de même réussi à montrer l'équivalence en utilisant ce que tu énonce ici
Mais, c'est tes remarques qui m'ont aidé à réalisé où était mon problème.
A la prochaine.

Posté par
Robot
re : Thm des fct implicites et C^1-diffeomorphismes 25-07-14 à 11:59

Avec plaisir.



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