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probleme de maximalisation
Bonjour,
Pendant l'été, on nous a donné un DM à faire et je me suis troublé à cette exercice. Je n'arrive pas à démarrer l'exercice. Merci pour l'aide, l'énoncé est ci-dessous:
Sous un hangar, dont le toit est de forme “parabolique”, on souhaite installer une habitation de forme parallélépipédique.
On suppose l'habitat s'étalant sur toute la longueur du hangar. Le but de cet exercice est de déterminer les dimensions de la façade de cet habitat afin d'en maximaliser le volume.
On modélise ce problème par la figure ci-dessous :
Le rectangle DEFG admet la droite (CO) pour axe de sy- métrie. On note x la mesure de la longueur AG.
Dans le repère (A ; I ; J ), la courbe C est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0 ; 6] par la relation : f(x) = −0.25x2 + 1.5x
On note A(x) l'aire du rectangle DEFG en fonction de x.
1)Le point G appartenant au segment [AO], quelles sont les valeurs possibles pour la variable x ?
2)Démontrer que pour x ∈ [0 ; 3] :
A(x)=0.5x^3-4.5x^2+9x
3) a)Déterminer le tableau de variation de la fonction A []
sur l'intervalle 0 ; 3 .
b) En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire du rec-
tangle DEFG est maximale.
Bonjour,
la 1) est simple, ou peut se promener G ? donc quelles valeurs peut prendre x ?
2) l'aire d'un rectangle ? tu connais ses dimensions en fonction de x donc tu peux trouver son aire.
3) les variations d'une fonction ? comme d'habitude, on dérive, on étudie le signe de la dérivée, etc ...
Lance toi, c'est un exercice plutôt simple.
Maintenant, l'aire d'un rectangle vaut base fois hauteur. Sa base vaut 6-2x, mais qu'est ce sa hauteur? Est-ce je cherche pour A(x)=0?
x vaut 3 moins la longueur GO. Oui donc x = 3 - GO 
GO = 3 - x et GF = 2(3-x) c'est OK
la largeur GD vaut l'ordonnée du point abscisse x donc GD = f(x) = −0.25x2 + 1.5x
Merci beaucoup!
je fais le calcul
A= GF*GD
A=(6-2x)(0.25x^2+1.5x)
A=-1.5x^3+9x-0.5x^3-3x^2
A=0.5x^3-4.4x^2+9x
ce qui est bien la réponse
oui, bien sûre, c'était une faute de tape.
donc je continue.
3) a)
A(x)=0.5x^3 -4.5x^2+ 9x
A'(x)=1.5x^2-9x+9
j'étudie le signe de A'(x), trinôme de second degrès
Delta= b^2-4ac= 81-4(1.5)(9)=81-54=27
Delta>0 donc le trinome est du signe de a(>0) à l'extérieur des racines.
x'=(-b-racine de delta)/ 2a)= (9-racine de 27)/3= (9-3racine de 3)/3 = 3-racine de 3
x''= 3+racine de 3
D'apres le cours, une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive et une fonction est décroissante lorsque sa dérivée est négative.
Ici, on a donc A croissante sur ]-infinit;3-racine de 3]U[3+racine de 3; +infinit[ est décroissant sur [3 - racine de 3; 3 +racine de 3].
Est- ce que j'ai fait une erreur?
Oui c'est ça, mais tu n'étudies la fonction qu'entre 0 et 3.
Mais OK tu as trouvé le maximum qui est bien pour x=3-
3
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