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Les sous-espaces vectoriels
Bonjour à tous,
Je n'arrive pas du tout à retrouver les méthodes pour démontrer que ces sous-ensembles sont des sous-espaces vectoriels. Pourriez-vous m'aider ?
1. E = R3 . F = vect((1,2,−1),(2,−1,0)), G = {(x,y,z) ∈R4|x−2y + z = 0}, F ∩G et F + G.
2. E = R4 . F = vect((1,2,−1,0),(2,−1,0,1),(0,1,−1,2)), G = vect((1,−2,−1,0),(2,−2,−1,1),(−1,0,−1,−2)), H = {(x,y,z,t) ∈R4|x + y −3z −t = 0} ,F ∩H et F + H.
3. E = R3[X]. F = {P ∈R3[X]|P(1) = 0},G = {P ∈R3[X]|P′(1) = 0}, H = vect(X −1,X2 + X3), F ∩G , F + G, F ∩H.
Merci beaucoup !
Louis66
Bonjour
1. : F : par définition, Vect(n'importe quoi) est un sous espace vectoriel de E
G : soit tu utilises le th qui dit que si G est non vide, inclus dans E et stable par combinaisons linéaires, c'est un sev de E, soit tu remarques que G est le noyau d'une forme linéaire (f, de E dans R, telle que f(x,y,z) = x - 2y + z)) et donc un sev de l'espace de départ E
F inter G et F + G sont des sev dès que F et G en sont.
Bonjour et merci de m'avoir répondu !
Je suis un peu perdu, je dois l'avouer.
J'ai bien compris les raisonnements, et je dois, une fois ces sev établis, en déterminer une base et un supplémentaire dans E. J'ai beau chercher, me référer aux définitions, je ne trouve pas de méthode pour pouvoir y arriver. Pourriez-vous me donner un début, des idées que je puisse trouver par moi-même ?
Merci !
Pour les Vect(A) : A est automatiquement une famille génératrice, tu as juste à voir si elle est libre : si oui, tu tiens une base, sinon, tu enlèves un des vecteurs qui est combinaison linéaire des autres, et tu recommences avec la famille restante
Pour les espaces définis par une équation : exemple avec le G du 10 : x - 2y + z = 0 donne x = 2y - z
tu y ajoutes le th "belge" : y = y et z = z
ainsi (x,y,z) est dans G ssi (x,y,z) = (2y - z,y,z) = y(2,1,0) + z(-1,0,1) : ça te donne une famille génératrice, qui à cause de la position des zéros, est libre
pour les supplémentaires : le th de la base incomplète te dit que tu peux compléter n'importe quelle famille libre en une base de l'espace, en choisissant les vecteurs manquants dans une base déjà connue par exemple la canonique
exemple avec le F du 1 : base de F : ((1,2,−1),(2,−1,0))
il est clair que ((1,2,−1),(2,−1,0),(1,0,0)) est libre (car échelonnée par rapport à la base canonique)
c'est donc une base de R^3, et tu peux choisir comme supplémentaire de F l'espace Vect((1,0,0))
(note bien qu'il y a une infinité de réponses possibles)
Merci, j'ai cherché les théorèmes et définitions, et j'ai plus ou moins réussi à bien rédiger et comprendre un minimum. Mais je dois avouer que je n'y comprends pas grand chose.
Concernant la base de F inter G, faut-il vérifier si les éléments restants forment une famille libre et génératrice ?
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