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Niveau Licence Maths 1e ann
Spécificité et loi Binomiale
Posté par PrOXXie
Bonjour à tous,
J'ai un petit problème (vraiment tout bête sans aucun doute..) de compréhension sur un exercice :
" On utilise dans un centre une procédure de dépistage de spécificité 60%. Quelle est la probabilité à 0,001 près que sur 20 sujets sains, 40% d'entre eux soient déclarés malades ?"
J'ai d'abord raisonné en me disant que si la spécificité (qui représente la probabilité d'être non malade et que le test soit négatif) était de "0,6", la proba d'être non malade et que le test soit positif est donc de "0,4", et par conséquent la proba que 40% des non malades soient déclarés malade est de 1.
Or ce n'est pas le bon résultat... "Instinctivement", j'ai essayé avec une loi binomiale (20;0,4), et j'ai trouvé le bon résultat : 0,180
Néanmoins, je n'ai pas compris la logique et le pourquoi du comment.. le premier raisonnement me parait tellement logique (et pourtant ce n'est assurément pas ça..)
Si quelqu'un pouvait m'éclaircir sur le sujet, ce serait vraiment sympa 
Merci d'avance !
Bonjour flight,
Non pas d'intervalle de confiance, la réponse est bien 0,180 et l'exercice demandais l'utilisation de la loi binomiale ^^
C'est justement le pourquoi de l'utilisation de la loi binomiale (et non pas simplement l'observation d'un arbre) qui est ma question ^^
.;oui j'ai été un peu rapide en besogne désolé ... 40% des 20 sujets représente 8 personnes , on cherche donc à calculer
la proba que 8 personnes soient declarées malades , avec la proba elementaire de l'etre qui est 1-0,6 = 0,4
on applique donc directement une loi binomiale de parametre B(20,0,4) et on calcul P(X=8)= C20,8*0,4^8*0,6^12 = 0,179
Désolé ? Mais de quoi ? ^^ Pas de soucis c'est sympa de m'aider, c'est pas grave si tu as regardé un peu vite ^^
Pour ta dernière réponse, c'est effectivement comme cela que j'ai procédé pour avoir le bon résultat, néanmoins ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est pourquoi utiliser la loi binomiale alors que la proba d'être sain et déclaré malade est de 0,4 ? Quand les sujets sont sains, la proba qu'ils soient déclarés malade est de 0,4 ; la proba que 40% d'entre eux soient déclarés malade était donc pour moi de 1
Je ne sais pas si j'arrive à être très clair, si ce n'est pas le cas n'hésitez pas à me le dire je ferais au mieux..
Citation :
J'ai d'abord raisonné en me disant que si la spécificité (qui représente la probabilité d'être non malade et que le test soit négatif) était de "0,6", la proba d'être non malade et que le test soit positif est donc de "0,4"...
OK, mais fais attention, la spécificité c'est la probabilité d'être déclaré sain SACHANT qu'on est sain.
J'ai d'abord raisonné en me disant que si la spécificité (qui représente la probabilité d'être non malade et que le test soit négatif) était de "0,6", la proba d'être non malade et que le test soit positif est donc de "0,4"...
C'est une probabilité conditionnelle ("A sachant B") et non une probabilité conjointe ("A et B").
Ta formulation est donc maladroite, même si tu sembles avoir bien compris l'idée.
Citation :
... néanmoins ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est pourquoi utiliser la loi binomiale alors que la proba d'être sain et déclaré malade est de 0,4 ?
C'est pourtant évident.
... néanmoins ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est pourquoi utiliser la loi binomiale alors que la proba d'être sain et déclaré malade est de 0,4 ?
Chaque individu SAIN a une probabilité de p=0.40 d'être déclaré POSITIF.
Donc si tu testes n=20 individus sains de façon indépendante, tu es EXACTEMENT dans le cas d'une expérience de Bernoulli de probabilité p=0.40 répétée n=20 fois.
Si tu appelles X le nombre de tests positifs trouvés sur ces 20 individus sains, alors X suivra une loi binomiale B(n=20, p=0.40).
Le nombre de tests positifs X peut prendre toutes les valeurs de 0 à 20.
La valeur "moyenne" de X sera de 8, car E(X) = n.p = 20*0.4 = 8
Citation :
... et par conséquent la proba que 40% des non malades soient déclarés malade est de 1.
Pas du tout ... et par conséquent la proba que 40% des non malades soient déclarés malade est de 1.
!
40% de 20, donc 8, est la fréquence moyenne, donc la plus la plus "vraisemblable". Mais ce n'est pas la seule possible !
Dans la mesure où il s'agit d'une expérience aléatoire, X peut fluctuer autour de cette valeur 8.
Tu t'es embrouillé la tête tout seul
!Ahhhhhhhhhhhhhhh d'accord !!! Oui effectivement je me suis monté la tête à l'envers ^^"
La proba moyenne d'être sain et déclaré positif est de 0,4, mais ce n'est pas pour autant qu'appliqué à 20 personnes 40% des sujets soient bel et bien saint et positif. C'est comme la proba de tirer face à pile ou face ; j'ai une chance sur deux pour avoir face, mais ce n'est pas pour autant que sur 20 lancés j'aurai 10 faces et 10 piles.
Si on avait demandé "Quelle est la probabilité d'être sain sachant qu'on est positif ?", alors on peut répondre 0,4 car la question ne porte pas sur un nombre donné de sujet mais dans le cas général (un très grand nombre). Dans ce cas la proportion de sain déclaré positif est de 40%.
Si c'est bien ça merci beaucoup, c'était vraiment tout bête mais sans tes explications chaque chose n'aurait pas retrouvée sa place ! :p
Merci encore et bonne journée !
Citation :
La proba moyenne d'être sain et déclaré positif est de 0,4, mais ce n'est pas pour autant qu'appliqué à 20 personnes 40% des sujets soient bel et bien saint et positif.
Exactement La proba moyenne d'être sain et déclaré positif est de 0,4, mais ce n'est pas pour autant qu'appliqué à 20 personnes 40% des sujets soient bel et bien saint et positif.
!
Citation :
C'est comme la proba de tirer face à pile ou face ; j'ai une chance sur deux pour avoir face, mais ce n'est pas pour autant que sur 20 lancés j'aurai 10 faces et 10 piles.
Je ne l'aurais pas mieux dit C'est comme la proba de tirer face à pile ou face ; j'ai une chance sur deux pour avoir face, mais ce n'est pas pour autant que sur 20 lancés j'aurai 10 faces et 10 piles.
...
Citation :
Si on avait demandé "Quelle est la probabilité d'être sain sachant qu'on est positif ?", alors on peut répondre 0,4
Non : tu as inversé la formulation Si on avait demandé "Quelle est la probabilité d'être sain sachant qu'on est positif ?", alors on peut répondre 0,4
!
Il aurait fallu que tu dises :
Citation :
Si on avait demandé "Quelle est la probabilité d'être testé positif sachant qu'on est sain ?", alors on peut répondre 0,4
Oui c'est bien ça.
Si on avait demandé "Quelle est la probabilité d'être testé positif sachant qu'on est sain ?", alors on peut répondre 0,4
P(positif sachant sain) = P(T+/M-) = 1 - Spécificité = 0.4
Citation :
... car la question ne porte pas sur un nombre donné de sujet mais dans le cas général (un très grand nombre).
Elle porte sur UN individu tiré au sort dans une population saine, chaque individu étant supposé avoir la même probabilité 40% d'être déclaré positif.
... car la question ne porte pas sur un nombre donné de sujet mais dans le cas général (un très grand nombre).
Et effectivement, la proportion de T+ sur une population infinie de M- tendrait vers cette probabilité.
Citation :
Merci encore et bonne journée !
Bonne journée Merci encore et bonne journée !
!