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Niveau Licence Maths 1e ann
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Endomorphisme dans R_n[X]

Posté par
Fractal
29-07-14 à 12:44

Bonjour,

J'ai un exercice qui me pose souci :

n\in\N^* et E=\R_n[X]

e_p le polynôme X^p avec 0\leq p\leq n

On considère l'application f qui au polynôme P\in E associe le polynôme Q=f(P) tel que :

Q(X)=P(X+1)+P(X-1)-2P(X)

Je passe la première question où il est demandé de montrer que f est un endomorphisme de E.

2°)-a)- Calculer f(e_p)
      b)- Quel est son degré ?
      c)- En déduire Ker(f),Im(f),rg(f)

J'ai essayé de "déclencher" une récurrence en utilisant le binôme de Newton sur :

(X+1)^p+(X-1)^p-2X^p

, mais je n'aboutis pas à quelque chose de probant, car je ne trouve que le premier terme du plus haut degré, c'est à dire :

p(p-1)X^{p-2} à partir de p\geq 2, ce qui répond certes à la question 2°b)- , mais pour le reste, je suis bloqué.

En développant jusqu'à p=10, j'ai aussi remarqué que p pair, le dernier terme du polynôme est égal à 2.

Auriez-vous une idée s'il vous plaît pour débloquer la situation ?

Vous remerciant.

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 12:48

...... et pour p impair, le dernier terme du polynôme est égal à 2pX.

Posté par
Robot
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 12:52

La formule de binôme ne te permet-elle pas de répondre à a) ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 12:53

Bonjour

f(e_p)=(X+1)^p + (X-1)^p - 2X^p = \sum_{k=0}^p {p\choose k}X^k(1 + (-1)^{p-k}) - 2 X^p
 \\ =\sum_{k=0}^{p-2} {p\choose k}X^k(1 + (-1)^{p-k})
f(e_0) = f(1) = 1 + 1 -2 = 0 : en voilà déjà un pour le noyau
f(e_1) = f(X) = (X+1) + (X -1) - 2X = 0 aussi : un de plus pour le noyau

à partir de là tu sais que si p\geq 2, deg(f(e_p)) = p-2 : que peux tu dire de la famille (f(e_2), f(e_3),\dots , f(e_n)) ? qu'en déduis-tu pour le rang ? pour l'image ? et donc pour la dimension du noyau ?

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 12:55

Ah ...... Je n'ai pas utilisé le signe \Sigma dans mes calculs, j'ai travaillé avec les coefficients numériques ......

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 13:06

Et j'avoue avoir une très faible expérience dans la manipulation des Sigmas (du moins à l'intérieur des signes sommations). Je vais regarder cela en détail.

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 13:12

Laissez moi le temps s'il vous plaît de ré-écrire tout cela car là ça a été un poil vite pour moi.

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 13:42

A Robot :

Citation :
La formule de binôme ne te permet-elle pas de répondre à a) ?


Oui, manifestement, après coup je vois effectivement que c'était possible    Merci Robot

A présent c'est compris pour la manipulation de l'expression ci-dessus : merci Lafol (j'ai eu un moment de flou avec le passage Sigma direct en \sum_{k=0}^{p-2})  

Bon, je regarde le reste.

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 13:54

Pour le reste, voilà ce que je dirais (mais c'est encore bien "fragile" pour moi) :

La famille (f(e_2), f(e_3),\dots , f(e_n)) représente (p-2) polynômes tous de degrés distincts (dans un espace de dimension (p+1) si je ne m'abuse, car nous sommes dans \R_n[X] et là en l'occurence p=n, je ne dis pas de bêtise ? )

Donc ils forment une famille libre de (p-2) éléments de E,

donc dim(Im(f))=p-2

donc rg(f)=2

donc dim(Ker(f))=3

Cela vous parait-il cohérent ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 14:26

oula !

déjà tu fais des salades avec p et n : p est un indice quelconque entre 0 et n, la famille que je t'ai proposée va en indices de 2 à n.... elle comprend donc n - 1 membres (sisi, -1, pas -2 : ouvre le livre que tu veux à la page 2, et compte les pages, de la 2 à celle que tu veux : tu verras, le nombre que tu énonces à chaque page est bien un de moins que celui qui est inscrit dans le coin en bas )

après OK, tous de degrés différents donc libre
donc dim(Im f) = n-1

tu peux relire le passage de ton cours où est défini le rang ?
c'est exactement la dimension de l'image ....
donc n-1 aussi, et il reste 2 pour le noyau : comme on en a deux vecteurs indépendants, on en a une base ...
pour l'image on en a aussi une base, les f(e_p) pour p de 2 à n

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 14:34

Ouh là là effectivement .... Je n'ai pas dû me remettre tout à fait de l'anesthésie !

Posté par
lafol Moderateur
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 15:29

ça doit être ça

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 15:37

Non mais le coup du rang ça m'a tué !!!  ..... déjà que le (n-1) était pas mal .....
Pffffffff ...........


Allez, je tente la dernière question.

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 16:32

J'ai une dernière question qui dit :

Soit Q un polynôme de Im(f)

Montrer qu'il existe un unique polynôme P\in E tel que :

f(P)=Q;P(0)=0;P'(0)=0

Voilà ce que je fais, et je sollicite votre avis et/ou remarques :

Existence :

Q\in Im(f) donc  par définition il existe un P\in E tel que f(P)=Q

Unicité :

Soient M,N\in E vérifiant les conditions ci-dessus :

M(X)=a_nX^n+\dots +a_1X+a_0

M(X)=0\Rightarrow a_0=0 et M'(X)=0\Rightarrow a_1=0

D'où M(X)=a_{n-2}X^{n-2}+\dots +a_2X^2

De même pour :

N(X)=b_{n-2}X^{n-2}+\dots +b_2X^2

Je pensais ensuite faire f(M) et f(N) et ainsi arriver à prouver l'unicité, mais ça semble nous amener "trop loin".

J'ai pense à présent qu'il faut mieux réduire l'espace E aux polynômes vérifiant les 2 conditions ci-dessus, soit un espace F et de ce fait je me retrouverai avec un Ker(f_{F})=\{0\}, et de ce fait je me retrouve avec un isomorphisme.

Qu'en pensez-vous ?

Vous remerciant.

Posté par
lafol Moderateur
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 17:13

N'oublie pas que tu connais le noyau de f

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 17:26

Justement, le Noyau de f n'est pas réduit qu'au polynôme nul, donc je n'ai pas de bijection, non ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 17:28

oui, mais tu cherches M - N dans le noyau, vérifiant deux conditions supplémentaires

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 17:30

Mais c'est bien pour cela que je cherche à réduire l'espace de départ aux polynômes qui remplissent ces 2 conditions car, dans ce cas, je n'aurais que le polynôme nul dans le noyau de cet espace induit.

C'est pas ça ?

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 17:34

ça commence vraiment à me mettre des noeuds dans les boyaux de la tête, il y a encore un truc qui me chiffonne ....

Posté par
lafol Moderateur
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 17:39

tu peux chercher l'intersection entre le noyau et l'ensemble des polynômes qui vérifient les deux conditions

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 17:42

Là je suis totalement perdu ....

Il y a quelque chose que j'ai besoin de comprendre et j'ai vraiment besoin d'être aidé.

J'envoie un autre post tout de suite parce que là ça ne va plus

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 17:49

Ma question va certainement paraître complètement saugrenue mais je m'explique (du moins je vais essayer avec mes mots à moi ...).

On a f:E\rightarrow E endomorphisme avec E=\R_n[X]

On a f qui à P\in E fait correspondre le polynôme  Q=f(P) tel que :

Q(X)=P(X+1)+P(X-1)-2P(X)

A partir de là, l'exercice nous fait raisonner à partir du polynôme e_p=X^p

De là on en a déduit l'image, le noyau etc.


Mais, ce que je ne comprends pas, c'est en quoi le fait d'avoir raisonné avec un seul polynôme (en l'occurence ici e_p) nous permet de connaître (d'identifier ?) l'application dans son ensemble ?

Posté par
Robot
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 18:39

Ce n'est pas un seul polynôme, mais n+1 polynômes (e_0,\ldots,e_n).
Et ces n+1 polynômes forment une base de l'espace vectoriel.
Or une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base. L'application linéaire f est entièrement déterminée par f(e_0),\ldots,f(e_n). La preuve :
f(a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n)=a_0f(e_0)+a_1f(e_1)+\cdots+a_nf(e_n)\;.

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 19:39

Je te remercie grandement de m'avoir remis sur les rails.

Posté par
alainpaul
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 19:49

Bonsoir,


Je remarque que Q(X) peut aussi s'écrire:
(p(X+1)-p(X))-(p(X)-p(X-1))

posons  R(X)=(p(X+1)-p(X))

...



Alain

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 20:35

Mon post Posté le 29-07-14 à 16:32

Citation :

D'où M(X)=a_{n-2}X^{n-2}+\dots +a_2X^2

De même pour :

N(X)=b_{n-2}X^{n-2}+\dots +b_2X^2


==> FAUX

M(X)=a_nX^n+\dots +a_2X^2

De même pour :

N(X)=b_nX^n+\dots +b_2X^2

Ce sont f(M) et f(N) qui sont de degré n-2

Posté par
lafol Moderateur
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 21:01

exact, je n'y avais pas prêté attention
Maintenant, c'est le moment de te souvenir que Ker(f) = Vect(1,X) ...

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 21:25

Je tourne autour ....

Mon post Posté le 29-07-14 à 16:32

Citation :
J'ai pense à présent qu'il faut mieux réduire l'espace E aux polynômes vérifiant les 2 conditions ci-dessus, soit un espace F et de ce fait je me retrouverai avec un Ker(f_{F})=\{0\},


==> Faux aussi à mon avis, ce n'est pas parce que je vais "réduire" l'espace de départ que je vais "réduire" le noyau de f ...

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 21:29

......... je sens que je vais en rêver cette nuit.

Endomorphisme dans R_n[X]

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 21:34

Bon, on a Ker(f)=\{1,X\}, cela veut donc dire que :

f(1)=0 et f(X)=0

Voilà déjà une étape, mais après ....

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 21:35

Pardon, Ker(f)=vect\{1,X\},

Posté par
lafol Moderateur
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 22:01

si f(M) = f(N), f étant linéaire, ça signifie que M-N est dans Ker(f)
donc M - N = aX + b ... regardes ce que tu as déjà écris de M et N et conclus ! tu es tout près, fais ça avant de dormir ! tu n'en dormiras que mieux !

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 29-07-14 à 23:56

C'est déprimant, j'ai l'impression de ne rien voir et qu'on me mâche tout le boulot ....

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 30-07-14 à 00:09

si f(M) = f(N), f étant linéaire, ça signifie que M-N est dans Ker(f) ==> ça ok
donc M - N = aX + b ==> ça je ne vois pas

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 30-07-14 à 00:12

A moins que tu ne veuilles dire que :

(M-N)\in Ker(f), donc il s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de la base (du Noyau).

Et comme  Ker(f)=vect\{1,X\}, alors on a (M-N)=a(X)+b(1)=aX+b

Je ne vois que ça ......

Posté par
lafol Moderateur
re : Endomorphisme dans R_n[X] 30-07-14 à 00:28

ben oui ! quoi d'autre ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Endomorphisme dans R_n[X] 30-07-14 à 00:29

si tu ne vois plus, c'est que tu as besoin de sommeil : au lit ! ça te paraitra lumineux demain !

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 30-07-14 à 00:45

Je n'ai pas vu grand chose aujourd'hui ....

Je suis sur un truc là.

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 30-07-14 à 00:51

Attend attend attend .....

On a deg(M)\leq n et deg(N)\leq n

donc  M(X)=a_nX^n+\dots +a_2X^2+a_1X+a_0 et N(X)=b_nX^n+\dots +b_2X^2+b_1X+b_0

(M-N)X=(a_n-b_n)X^n+\dots +(a_2-b_2)X^2+(a_1-b_1)X+(a_0-b_0),

Or (M-N)\in Ker(f), donc f(M-N)=0

Si je développe le f(M-N) j'ai alors tous les (a_i-b_i)=0 pour 2\leq i\leq n,

il me reste donc (a_1-b_1)(X+1)+a_0-b_0=0


Pfffffffffffffffffffffffff ........................ La loose, je tourne en rond !!!!!  

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 30-07-14 à 01:13

Non, je ne vois pas comment prouver l'unicité, j'abandonne ....

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 30-07-14 à 07:27

Mon post Posté le 30-07-14 à 00:51

Citation :

il me reste donc (a_1-b_1)(X+1)+a_0-b_0=0


==> Faux

En fait il me reste donc f(M-N)=0 \Leftrightarrow (a_1-b_1)(X+1)+a_0-b_0+(a_1-b_1)(X-1)+a_0-b_0-2[(a_1-b_1)+a_0-b_0]=0

ce qui en développant nous donne 0=0    ................ ce qui n'arrange pas mes affaires.

Posté par
alainpaul
re : Endomorphisme dans R_n[X] 30-07-14 à 11:36

Bonjour,

L'application f correspond à une différence seconde de P(X) ou encore
R(X+1)=P(X+1)-P(X) , Q(X)=R(X+1)-R(X)

Cela est-il exploitable?


Alain

Posté par
lafol Moderateur
re : Endomorphisme dans R_n[X] 30-07-14 à 14:33

N'oublie pas que tu as écrit :

Citation :
M(X)=a_nX^n+\dots +a_2X^2

De même pour :

N(X)=b_nX^n+\dots +b_2X^2


du coup, quand tu ajoutes à ça M - N de degré inférieur ou égal à 1 car dans le noyau de f, ça te donne quoi ?

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 30-07-14 à 17:28

Je ne sais pas, je ne sais plus.

A vrai dire, j'ai passé trop de temps là dessus.

Je ne comprends pas ce que tu entends par "ajouter à ça".

Posté par
Camélia Correcteur
re : Endomorphisme dans R_n[X] 30-07-14 à 17:32

Bonjour Leo

M(X)-N(X)=(a_n-b_n)X^n+...(a_2-b_2)X^2

... et ça (comme dit lafol), c'est un polynôme de degré au plus 1.

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 30-07-14 à 21:55

........................................... ça me donne M(X)-N(X)=0\Leftrightarrow M(X)=N(X)

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 31-07-14 à 08:39

D'où l'unicité si je ne m'abuse._{\text{(j'avais compris dans le post de 14:33 qu'il fallait que j'ajoute M-N aux expressions au-dessus, comme quoi je n'y étais pas .... }}

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 31-07-14 à 12:15

Et bonjour Camelia.


Merci à tous ceux qui présentement m'ont aidé, ce fût plus que laborieux

Je vais revoir tout cela.
Merci encore

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 31-07-14 à 12:17

"fut" plutôt.

Endomorphisme dans R_n[X]

Posté par
Fractal
re : Endomorphisme dans R_n[X] 01-08-14 à 09:07

Au fait Camelia, tu remarqueras "qu'on" n'a pas abandonné, je remets le couvert fin août !  

Donc vacances sous le soleil des topics de l'île des mathématiques !!!

Endomorphisme dans R_n[X]



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