Bonjour,
J'ai un exercice qui me pose souci :
et
le polynôme avec
On considère l'application qui au polynôme associe le polynôme tel que :
Je passe la première question où il est demandé de montrer que est un endomorphisme de .
2°)-a)- Calculer
b)- Quel est son degré ?
c)- En déduire
J'ai essayé de "déclencher" une récurrence en utilisant le binôme de Newton sur :
, mais je n'aboutis pas à quelque chose de probant, car je ne trouve que le premier terme du plus haut degré, c'est à dire :
à partir de , ce qui répond certes à la question 2°b)- , mais pour le reste, je suis bloqué.
En développant jusqu'à , j'ai aussi remarqué que pair, le dernier terme du polynôme est égal à .
Auriez-vous une idée s'il vous plaît pour débloquer la situation ?
Vous remerciant.
Bonjour
: en voilà déjà un pour le noyau
aussi : un de plus pour le noyau
à partir de là tu sais que si , : que peux tu dire de la famille ? qu'en déduis-tu pour le rang ? pour l'image ? et donc pour la dimension du noyau ?
Ah ...... Je n'ai pas utilisé le signe dans mes calculs, j'ai travaillé avec les coefficients numériques ......
Et j'avoue avoir une très faible expérience dans la manipulation des Sigmas (du moins à l'intérieur des signes sommations). Je vais regarder cela en détail.
A Robot :
Pour le reste, voilà ce que je dirais (mais c'est encore bien "fragile" pour moi) :
La famille représente polynômes tous de degrés distincts (dans un espace de dimension si je ne m'abuse, car nous sommes dans et là en l'occurence , je ne dis pas de bêtise ? )
Donc ils forment une famille libre de éléments de ,
donc
donc
donc
Cela vous parait-il cohérent ?
oula !
déjà tu fais des salades avec p et n : p est un indice quelconque entre 0 et n, la famille que je t'ai proposée va en indices de 2 à n.... elle comprend donc n - 1 membres (sisi, -1, pas -2 : ouvre le livre que tu veux à la page 2, et compte les pages, de la 2 à celle que tu veux : tu verras, le nombre que tu énonces à chaque page est bien un de moins que celui qui est inscrit dans le coin en bas )
après OK, tous de degrés différents donc libre
donc dim(Im f) = n-1
tu peux relire le passage de ton cours où est défini le rang ?
c'est exactement la dimension de l'image ....
donc n-1 aussi, et il reste 2 pour le noyau : comme on en a deux vecteurs indépendants, on en a une base ...
pour l'image on en a aussi une base, les f pour p de 2 à n
Non mais le coup du rang ça m'a tué !!! ..... déjà que le (n-1) était pas mal .....
Pffffffff ...........
Allez, je tente la dernière question.
J'ai une dernière question qui dit :
Soit un polynôme de
Montrer qu'il existe un unique polynôme tel que :
Voilà ce que je fais, et je sollicite votre avis et/ou remarques :
Existence :
donc par définition il existe un tel que
Unicité :
Soient vérifiant les conditions ci-dessus :
et
D'où
De même pour :
Je pensais ensuite faire et et ainsi arriver à prouver l'unicité, mais ça semble nous amener "trop loin".
J'ai pense à présent qu'il faut mieux réduire l'espace E aux polynômes vérifiant les 2 conditions ci-dessus, soit un espace F et de ce fait je me retrouverai avec un , et de ce fait je me retrouve avec un isomorphisme.
Qu'en pensez-vous ?
Vous remerciant.
Mais c'est bien pour cela que je cherche à réduire l'espace de départ aux polynômes qui remplissent ces 2 conditions car, dans ce cas, je n'aurais que le polynôme nul dans le noyau de cet espace induit.
C'est pas ça ?
ça commence vraiment à me mettre des noeuds dans les boyaux de la tête, il y a encore un truc qui me chiffonne ....
tu peux chercher l'intersection entre le noyau et l'ensemble des polynômes qui vérifient les deux conditions
Là je suis totalement perdu ....
Il y a quelque chose que j'ai besoin de comprendre et j'ai vraiment besoin d'être aidé.
J'envoie un autre post tout de suite parce que là ça ne va plus
Ma question va certainement paraître complètement saugrenue mais je m'explique (du moins je vais essayer avec mes mots à moi ...).
On a endomorphisme avec
On a qui à fait correspondre le polynôme tel que :
A partir de là, l'exercice nous fait raisonner à partir du polynôme
De là on en a déduit l'image, le noyau etc.
Mais, ce que je ne comprends pas, c'est en quoi le fait d'avoir raisonné avec un seul polynôme (en l'occurence ici ) nous permet de connaître (d'identifier ?) l'application dans son ensemble ?
Ce n'est pas un seul polynôme, mais polynômes ().
Et ces polynômes forment une base de l'espace vectoriel.
Or une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base. L'application linéaire est entièrement déterminée par . La preuve :
Mon post Posté le 29-07-14 à 16:32
exact, je n'y avais pas prêté attention
Maintenant, c'est le moment de te souvenir que Ker(f) = Vect(1,X) ...
Je tourne autour ....
Mon post Posté le 29-07-14 à 16:32
si f(M) = f(N), f étant linéaire, ça signifie que M-N est dans Ker(f)
donc M - N = aX + b ... regardes ce que tu as déjà écris de M et N et conclus ! tu es tout près, fais ça avant de dormir ! tu n'en dormiras que mieux !
si f(M) = f(N), f étant linéaire, ça signifie que M-N est dans Ker(f) ==> ça ok
donc M - N = aX + b ==> ça je ne vois pas
A moins que tu ne veuilles dire que :
, donc il s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de la base (du Noyau).
Et comme , alors on a
Je ne vois que ça ......
Attend attend attend .....
On a et
donc et
,
Or , donc
Si je développe le j'ai alors tous les pour ,
il me reste donc
Pfffffffffffffffffffffffff ........................ La loose, je tourne en rond !!!!!
Mon post Posté le 30-07-14 à 00:51
Bonjour,
L'application f correspond à une différence seconde de P(X) ou encore
Cela est-il exploitable?
Alain
N'oublie pas que tu as écrit :
Je ne sais pas, je ne sais plus.
A vrai dire, j'ai passé trop de temps là dessus.
Je ne comprends pas ce que tu entends par "ajouter à ça".
Et bonjour Camelia.
Merci à tous ceux qui présentement m'ont aidé, ce fût plus que laborieux
Je vais revoir tout cela.
Merci encore
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