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Suite des sommes partielles
Bonjour à tous,
J'ai un petit problème de compréhension d'énoncé. Pourriez-vous m'indiquer ce cette phrase signifie :
1. On considère la suite un = ln(n!n−n−1/2en). Montrer que la suite converge vers un réel k en la considérant comme la suite des sommes partielles d'une série.
J'ai pensé à écrire que Un = Sn = 
n k=0 uk
Est-ce correct ?
Merci d'avance
Bonjour
Je n'ai pas fait les calculs (ne manque-t-il quelques parenthèses?) mais je l'interpréterais plutôt comme avec
... à tpi de trouver!
Bonjour,
Merci de m'avoir répondu !
Oui, excusez moi pour la formule, je l'ai mal tapée :
la suite un = ln(n!*(n^(-n−1/2))*e^n))
Oui c'est cette formule. Je n'avais pas réussi à bien l'écrire.
Je cherche. Faut-il décomposer le ln puis passer à une écriture de vn ?
Si je décompose un
Un = ln
u_n=\ln(n!\times n^{-n-(1/2)}e^n) ?
alors Un = ln(n!) + ln(n^(-n-1/2) + ln(e^n)
alors Un =
ln(k!) + ln(k^(-k-1/2) + k
Donc on obtiendrait Un =
vk en posant vk = ln(k!) + ln(k^(-k-1/2) + k
Correct or not ?
Bonjour
ce qu'il y a de bien avec les logarithmes, c'est qu'ils transforment les produits en sommes ....
C'est bon, entre-temps, j'ai compris et j'ai bien trouvé que Vn = Un - Un-1 (tellement bête)
Et est-ce que Vn = ln ( (n*n^(-n-1/2) *e^n))/(n-1)^-n+1/2)) ?
J'ai envoyé le message avant avoir vu le vôtre
donc on obtient Vn = 1 + (n-1/2)ln(1-1/n)
Mais je ne vois pas à quoi ça doit mener
Si on fait un bilan :
on a Un-Un-1 = Vn
Vn = 1 + (n-1/2)ln(1-1/n)
or Un = Vk
Donc Un = 1 + (k-1/2)ln(1-1/k) ???
Si on veut... il manque les limites dans la somme. et non
a une limite si et seulement si la série de terme général
converge. Pour le savoir lafol t'a suggéré un développement limité.
Je ne vois que le développement limité ln(1+u) au voisinage de 0, et non pas + inf
bref, je ne vois pas
Jusqu'à là, c'est bon: , On pose
Tu as :
Prends juste 2 termes du développement afin d'avoir un ordre de grandeur.
" tend vers 0" est nécessaire pour que la série converge, mais pas suffisant ... il faut que tu ailles plus loin dans le dl
En fait, je trouve après calculs avec dl, que Vn = 1/4n² + o(1/n²)
On en déduit que Vn ~ 1/4n² en +inf
comme la série 1/n² converge (Riemann de para 2>1), alors la stg Vn converge
Désolé, mais 3 termes du développement et tu auras deux termes Donc le résultat serait plutôt
La conclusion est la même.
Désolé, mais 3 termes du développement et tu auras deux termes en \frac{1}{n^2}
A calculer?
La conclusion est la même.
Désolé, mais 3 termes du développement et tu auras deux termes en \frac{1}{n^2}
A calculer?
La conclusion est la même.
Non, mais j'ai réussi à conclure et à bien montrer que la suite u est convergente vers un réel k.
Merci
Je ne remet pas en cause la convergence. Juste une petite réctif.
Le terme du DL intervient
Nous obtiendront :
Dans la suite de l'exo, on reparle de k. Mais il n'est pas dit explicitement de le calculer, ni dans cette 1ère question, ni dans la suite. Mais je me demande s'il ne serait pas utile pour une prochaine étape. Bref, avec une telle phrase "suite converge vers un réel k", faut-il le calculer ?
Je vous pose encore une question.
Je cherche depuis trop longtemps, je ne trouve pas cette question
En posant K = e^k, montrer que n! ∼(→+∞) K√n * (n/e)^n.
J'ai beau tourner dans n'importe quel sens, je ne vois pas.
Pourriez-vous me donner un début de piste, je tiens absolument à résoudre cette question moi-même
Merci ^^
On considère la suite un = ln(n!n−n−1/2en). Montrer que la suite converge vers un réel k en la considérant comme la suite des sommes partielles d'une série.
Si la limite de est
, celle de
n'est certainement pas
.
Par ailleurs, que veut dire , en termes de limite ?
Pardon, je pensais à autre chose.
Si lim Un = k alors exp Un = exp k
Je sais que si n ~ K 
n *(n/e)^n
alors lim n/ K n *(n/e)^n = 1
L'équivalence ne concerne pas , mais
. Fais attention à ce que tu écris. Et tu écris une implication alors qu'il s'agit d'une équivalence (c'est justement l'implication réciproque qui va servir ici).
Tu as maintenant tout ce qu'il te faut. Qu'est ce que ?
Je suis allé trop vite.
Alors lim exp(Un)= exp(k)
or exp(k)=K
donc lim exp(Un)= K
et exp(Un)= n! n^(-n-1/2) * e^n
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