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Suites définie par intégrale

Posté par
omar344 29-07-14 à 17:43

Salut, j'ai un exercice qui traite une suite définie par une intégrale:
On considère la suite (I_{n})_{n\geqslant1} définie par: I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}e^{1-x}dx
1) Calculer I_{1} et I_{2} :fait
2) Montrer que: \forall n\in\mathbb{N}^{*} : \frac{1}{n+1}\leqslant I_{n}\leqslant\frac{e}{n+1} : fait
3) Montrer que: \forall n\in\mathbb{N}^{*} : I_{n}\in]0,1[ : fait
4) Montrer que: \forall n\in\mathbb{N}^{*} : I_{n+1}=-1+(n+1)I_{n} : fait
5) On considère la suite (u_{n})_{n\geqslant1} définie par: u_{n}=n!e-I_{n} : au secours...
  i) Montrer que: \forall n\in\mathbb{N}^{*} : u_{n}\in\mathbb{N}^{*}
  ii) Montrer que e\notin\mathbb{Q}

Merci pour votre aide

Posté par
Gabylunere : Suites définie par intégrale 29-07-14 à 17:59

Bonsoir, u_{n}=n!e- \int^{1}_{0}x^{n}ee^{-x}dx = n!e-e\int^{1}_{0}x^{n}e^{-x}dx=n![e- \int^{1}_{0} x^{n}e^{-x}dx] .

Après, je ne connais pas assez d'arithmétique pour t'aider.

Posté par
shawarmare : Suites définie par intégrale 29-07-14 à 18:02

Bonjour,

Récurrence !

Posté par
carpediemre : Suites définie par intégrale 29-07-14 à 18:02

salut

u_{n + 1} = (n + 1)!e - I_{n + 1}  = (n + 1)!e + 1 - (n + 1)I_n = (n + 1)[n!e - I_n] + 1 = (n + 1)u_n + 1

donc par récurrence :: si un est entier alors un+1 l'est aussi

...

Posté par
omar344re : Suites définie par intégrale 29-07-14 à 18:09

et qu'en est-il de l'iirationalité de e?

Posté par
shawarmare : Suites définie par intégrale 29-07-14 à 18:15

Utilise le fait que I_n\in]0,1[

Posté par
carpediemre : Suites définie par intégrale 29-07-14 à 18:59

Citation :

et qu'en est-il de l'irrationalité de e ?


on s'en fout dans un premier temps ... (5i)

c'est seulement dans 5ii qu'on conclura ...

Posté par
Francchoixpossibilité 29-07-14 à 20:58

Supposons établie pour un entier n:   n!e-I_n \in N;   ce qui est vérifié pour n=1, on a:   I_{n+1}=-1 + (n+1)I_n,   donc   I_n=\frac{ I_{n+1}}{n+1}+\frac {{1}}{n+1}   et   n!e-I_n\in N     n!e-\frac{I{n+1}}{n+1}-\frac {1}{n+1} \in N  soit     (n+1)!e- I_{n+1}}-1 \in N,   ce qui prouve la propriété par récurrence.  Ensuite,   n!e -I_n \in N   entraînerait I_n\in Z   , ce qui est contradictoire avec   I_n \in ]0;1[.

Conclusion: e n'est pas un rationnel (on s'en doutait un peu).

Posté par
omar344re : Suites définie par intégrale 30-07-14 à 00:18

" n!e -I_n \in \mathbb{N}   entraînerait I_n\in\mathbb{Z}"
désolé j'en suis pas convaincu...:?

Posté par
shawarmare : Suites définie par intégrale 30-07-14 à 00:24

Oui c'est bancal en effet suffit de prendre 2.1-0.1 pour s'en apercevoir ... raisonne plutôt par l'absurde.

e=\frac{u_n+I_n}{n!} ...

Posté par
omar344re : Suites définie par intégrale 30-07-14 à 00:51

Merci c'est super

Posté par
Nofutur2re : Suites définie par intégrale 30-07-14 à 08:21

On démontre facilement que I1 n'est pas rationnel, et par récurrence (grâce à la question 4) que In n'est pas rationnel...
Comme e=(un+In)/n! et que un et n! sont entiers..e n'est pas rationnel..

Posté par
Francchoixtrop vite 30-07-14 à 09:49

J'ai juste donné l'idée, ça me paraissait évident que e=p/q conduirait à q!e entier et donc à I

Posté par
Francchoixsuite 30-07-14 à 09:53

et donc à Iq entier; c'était l'étape précédente qui bloquait, pas celle là!


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