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suite : demonstration d'une inégalité frequente

Posté par
hakimjemaa 26-08-14 à 22:33

bonjour a tous ca fait des jours que je revoie un type de questions dans les suites que je n'arrive pas a comprendre voila
alors on a Uo = o
Un+1= 1+ Un sur racine de (3+Un²)
alors au debut j'ai demontré que 0 ≤ Un < 1  puis j'ai demontré que Un+1 > 1+Un sur 2 et j'ai deduit que Un est croissante ensuité j'ai montré  que U est convergante puis il me demende ces Trois QUestions
-montrer que pour tout n  entier naturel 0 < 1-Un <1/2  × (1-Un) cette question je l'ai compris grace a la correction puis vient cette question
-en deduire que 1-Un ≤ (1/2)puissance n   puis calculer lim Un   cette question je l'ai pas compris  

ensuite il me dit soit Xn =n/2puissance n
etudier la monotonie de X en deduire qu'elle est convergante
je vous serais enormement reconnaisant si vous m'expliqueriez surtout la question 2 et de facon claire je vous remercie d'avance
merci

Posté par
weierstrassre : suite : demonstration d'une inégalité frequente 26-08-14 à 22:54

Bonjour,
0 < 1-Un <1/2  × (1-Un), tu es sur?
tu dois te tromper d'expression...

Posté par
hakimjemaare : suite : demonstration d'une inégalité frequente 27-08-14 à 08:00

Non c est juste c est 1-Un inférieur à 0.5 * ( 1- Un)

Posté par
weierstrassre : suite : demonstration d'une inégalité frequente 27-08-14 à 08:19

1-Uo = 1
1/2(1-Uo) = 1/2
depuis quand 1<1/2 ?

Posté par
veledare : suite : demonstration d'une inégalité frequente 27-08-14 à 08:32

bonjour,
weierstrass a raison cette inégalité n'est pas vérifiée par u_n
ce ne serait pas
1-u_{n+1}<\frac{1}{2}(1-u_n)  ?

Posté par
hakimjemaare : suite : demonstration d'une inégalité frequente 27-08-14 à 18:35

Oui je suis desole veleda t as raison

Posté par
veledare : suite : demonstration d'une inégalité frequente 28-08-14 à 00:58

et maintenant ,tu sais démontrer cette inégalité?

Posté par
hakimjemaare : suite : demonstration d'une inégalité frequente 28-08-14 à 07:26

Oui je l ai déjà faite mais la deuxième et troisième question NN surtout la deuxième

Posté par
veledare : suite : demonstration d'une inégalité frequente 28-08-14 à 11:37

pour la 2) tu fais ue récurrence
*l'inégalité est vraie pour n=0
*tu supposes qu'elle est vraie à un certain rang n
1-u_n< (\frac{1}{2})^n
*tu utilises 1-u_{n+1}<\frac{1}{2}(1-u_n) pour montrer que c'est encore  vrai au rang n+1

Posté par
hakimjemaare : suite : demonstration d'une inégalité frequente 28-08-14 à 12:39

Oui mais comment je fais ? J aimerais bien savoir votre méthode s il vous plaît

Posté par
veledare : suite : demonstration d'une inégalité frequente 28-08-14 à 13:12

tu sais que1-u_{n+1}<\frac{1}{2}(1-u_n)   (1)
l'hypothèse de récurrence est:
au rang n  (1-u_n)<(\frac{1}{2)}^n donc d'après (1)  1-u_{n+1}< \frac{1}{2}.(\frac{1}{2})^n
soit  1-u_{n+1} < (\frac{1}{2})^{n+1}   la propriété est héréditaire

Posté par
Francchoixcomplément 28-08-14 à 20:30

Soit U_n=\frac{n}{2^n}; U_0=0;  U_1=\frac{1}{2}; U_2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}  et pour n\geq2, U_{n+1}-U_n=\frac{2-n}{2^{n+1}}\leq 0;  donc u_n est décroissante à partir du rang n=2.
Tout dépend de ta classe; si tu est en 1°,on peut tout juste conjecturer que sa limite est 0. Sinon on a   ln (\frac{n}{2^n})=ln(n)-nln(2)=n(\frac{ln(n)}{n}-ln(2))->-oo,   donc U_n->0


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