Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau autre
Partager :

série de fonction, convergence simple, normale, et uniforme

Posté par
bureau
27-08-14 à 11:08

Bonjour

Je n'arrive pas à répondre à cette première question

Pour x on pose f(x) = \[\sum_{n=1}^{\infty}\] un(x)  où un(x) = \frac{x}{(1+nx^2)^ n}

Montrer que f est définie sur

j'ai essayé de développer f mais je n'arrive à rien de concluant...

Merci

Posté par
rJin2006
re : série de fonction, convergence simple, normale, et uniforme 27-08-14 à 11:19

Salut,

A vérifier par d'autres membres du forum car ces notions remontent à loin pour moi.

Pour vérifier que f est définie j'aurais vérifié si f converge simplement.

Soit x fixé dans \mathbb{R}, on a lim_{n \rightarrow \infty} \frac{un(x)}{\frac{1}{n^2}} = 0, donc u_n(x) = o(\frac{1}{n^2}). Donc la série de fonctions \sum_{n = 1}^{\infty} u_n(x) converge simplement.

Posté par
bureau
re : série de fonction, convergence simple, normale, et uniforme 27-08-14 à 11:45

Je ne comprend pas pourquoi cette limite lim_{n \rightarrow\infty}\frac{un(x)}{\frac{1}{n^2}}=0 tend vers 0. Tu peux détailler stp ?

Posté par
athrun
re : série de fonction, convergence simple, normale, et uniforme 27-08-14 à 12:45

Sauf erreur, on peut s'en sortir comme ca pour montrer que u_n(x)\in\mathrm{o}\left(\dfrac{1}{n^2}\right) :

Si x=0 c'est réglé, donc on peut supposer x\neq0, et on a :

|n^2u_n(x)|\leqslant\dfrac{n^2|x|}{(nx^2)^n}.

Pour n assez grand, on a nx^2\geqslant2 et donc :

|n^2u_n(x)|\leqslant\dfrac{n^2|x|}{(nx^2)^n}\leqslant\dfrac{n^2|x|}{2^n}\underset{n\infty}{\longrightarrow0}.

Posté par
delta-B
re : série de fonction, convergence simple, normale, et uniforme 27-08-14 à 12:45

Bonjour.

Tu peux aussi utiliser la règle de Cauchy pour la convergence absolue.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !