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Loi de probabilité

Posté par
rJin2006 27-08-14 à 11:10

Salut,

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p (0 < p < 1) et (X_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que X.

Soit N un entier supérieur ou égal à 1. Donner la loi de Y = \frac{\sum_{n = 1}^N X_n}{N}

Je remarque que Y est à valeurs [[0, 1]]. Soit k \in [[0, 1]], on a :

P(Y = k) = P(\sum_{n = 1}^N X_n) = N k) = \binom{N}{Nk}p^{Nk}(1 - p)^{N(1 - k)} (car \sum_{n = 1}^N X_n suit une loi binomiale de paramètres N et p).

Ensuite je n'arrive pas à retrouver la forme d'une loi connue, même si je vois des similitudes avec la loi binomiale.

Une aide? Merci.

Posté par
Robotre : Loi de probabilité 27-08-14 à 14:14

Qu'est-ce que tu notes [[0,1]] ? Tu ferais bien de clarifier ça.

Posté par
rJin2006re : Loi de probabilité 27-08-14 à 14:44

Merci Robot. J'ai fait une erreur. Il me semble que Y est à valeurs dans \lbrace 0, \frac{1}{N}, ...., 1 \rbrace car \sum_{n = 1}^N X_n prend des valeurs entières comprises entre 0 et N.  

Posté par
Robotre : Loi de probabilité 27-08-14 à 14:58

Bon, alors ça serait peut-être mieux d'écrire P(Y=k/N)=\ldots

Posté par
Gammatre : Loi de probabilité 28-08-14 à 02:26

Citation :
car \sum_{n = 1}^N X_n suit une loi binomiale de paramètres N et p)

ben que cherches-tu de plus, tu as trouvé :
Y suit la loi \dfrac{1}{N}Bin(N,p)

Donc P(Y=k)= \mathbf1}_A \binom{N}{N k}p^{Nk}(1 - p)^{N(1-k)}

Posté par
Gammatre : Loi de probabilité 28-08-14 à 02:29

Citation :
car \sum_{n = 1}^N X_n suit une loi binomiale de paramètres N et p)

ben que cherches-tu de plus, tu as trouvé :
Y suit la loi \dfrac{1}{N}Bin(N,p)

Donc P(Y=k)= \binom{N}{N k}p^{Nk}(1 - p)^{N(1-k)}

Y est un estimateur de p.

Posté par
rJin2006re : Loi de probabilité 28-08-14 à 10:23

Merci pour vos réponses


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