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Calcul d'une série

Posté par
Vlam 02-09-14 à 19:46

Bonsoir à tous!

J'essaye de calculer la série suivante:

Pour tout a appartenant à C vérifiant |a|<1, calculer S = \sum_{n=1}^{+\infty} na^n

Toute indication est la bienvenue, merci d'avance!

Posté par
Robotre : Calcul d'une série 02-09-14 à 19:48

Est-ce que S = \sum_{n=1}^{+\infty} na^{n-1} t'évoque quelque chose ? (Penser à une dérivée ?)

Posté par
Robotre : Calcul d'une série 02-09-14 à 19:49

Le S= est de trop (méfait du copier-coller).

Posté par
Vlamre : Calcul d'une série 02-09-14 à 20:14

Bonsoir et merci de m'aider!

Non, cela ne me dit rien du tout :S .

Je peux écrire dans ce cas  S : a \times \sum_{n=1}^{+\infty} na^{n-1} mais je ne vois pas trop où cela va me mener.
Mon prof de sup m'a dit qu'on verrait en spé qu'on avait le droit de dériver/d'intégrer terme à terme une série, mais que c'était pas évident quand on considérait la somme infinie (et que ca nécessitait une démo qu'on a pas encore faite), donc je n'ai pu faire aucun exercice la dessus...

Posté par
Robotre : Calcul d'une série 02-09-14 à 20:49

Si tu multiplies S par 1-a, que trouves-tu ?

Posté par
delta-Bre : Calcul d'une série 02-09-14 à 20:54

Bonsoir

Citation :
Mon prof de sup m'a dit qu'on verrait en spé qu'on avait le droit de dériver/d'intégrer terme à terme une série

C'est vrai pour les  séries entières de rayon de convergence non nul mais pas entre autre pour les séries de fonctions, je suis entrain d'utiliser un vocabulaire qui t'est étranger.

Posté par
Vlamre : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:00

Ca j'y ai pensé en essayant de faire apparaitre une forme télescopique, mais je n'arrive vraiment pas à me débarrasser du n (qui me casse les pieds depuis le début en fait).

J'ai  (1-a)S_N = \sum_{i=1}^{N} n(a^n - a^{n+1})

(1-a)S_N = \sum_{i=1}^N n \times (a - a^{N+1})

Posté par
boninmire : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:08

Ton second résultat ne me semble pas correct.
De plus ta notation est incohérente (nom de l'indice de sommation: i ou n ?).
Calcule plutôt le coefficient de ai dans SN.

Posté par
boninmire : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:08

... pardon, dans (1 - a)SN

Posté par
boninmire : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:11

... je vais y arriver

Si i est ton indice de sommation, quel est le coefficient de ai dans (1-a)SN ?

Posté par
Robotre : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:15

Tu t'y prends très mal : il faut regrouper les puissances semblables de a !

\begin{matrix}  S=& a&+2a^2&+3a^3&+4a^4&+5a^5&+\cdots\\ -aS=&&-a^2&-2a^3& -3a^4&-4a^5&-\cdots \end{matrix}

Posté par
Vlamre : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:18

Oooh, mea culpa, j'écris i au lieu de n depuis tout à l'heure!

Je reprends ca proprement.

(1-a)S_N = \sum_{i=1}^{N} i(a^i - a^{i+1})

Donc le coefficient de ai est i?
Je suis vraiment paumé, désolé de pas être plus réactif mais j'ai pas d'idée là

Posté par
Vlamre : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:18

Merci Robot, je reprends ca au brouillon

Posté par
Vlamre : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:26

Bon, du coup j'en arrive là:

(1-a)S_N = \sum_{i=1}^{N} i(a^i - a^{i+1}) \\ \\ =1+ \sum_{i=0}^N a^i -a^{N+1} \\

D'où lim S_N = \frac{1}{(1-a)^2} + \frac{1}{(1-a)}

Maintenant la question qui me tarabuste, d'où vient l'idée de multiplier Sn par (1-a)? Parce que la simplification télescopique est un peu invisible là non (ou alors je m'y prends très mal) ?

Posté par
Vlamre : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:27

(1-a)S_N = \sum_{i=1}^{N} i(a^i - a^{i+1}) \\ \\ =-1+ \sum_{i=0}^N a^i -a^{N+1} \\

lim S_N = \frac{1}{(1-a)^2} - \frac{1}{(1-a)}

Faute d'inattention.

Posté par
Robotre : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:31

Tu peux réduire au même dénominateur, c'est plus joli.

Posté par
boninmire : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:37

L'idée de multiplier par 1-a vient éventuellement de la connaissance du résultat établi par dérivation de la série entière géométrique, de façon à retrouver le même résultat par une méthode plus élémentaire.

Posté par
Vlamre : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:40

Bon bah super alors, j'imagine qu'on va le voir la prochaine fois .

Merci à tous les deux pour le coup de main, passez une bonne soirée!

Posté par
Robotre : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:46

Quand on a une progression arithmétique (comme dans la suite des coefficients de la série donnée), la différence de deux termes successifs est constante : une motivation pour multiplier par 1-a.

Exercice complémentaire : calculer T = \sum_{n=1}^{+\infty} n^2a^n
Indication : les différences de termes successifs de la suite des coefficients forment une progression arithmétique ( (n+1)^2-n^2= 2n+1 ).

Posté par
freniclere : Calcul d'une série 02-09-14 à 21:54

Bonsoir

Une autre façon peut-être plus naturelle (?), mais un peu plus compliquée d'arriver au résultat :

\[ \\ \begin{array}{cccccccc} \\ a & +2a^2 & +3a^3&+4a^4&...&+na^n=\\ \\ a & +a^2 & +a^3&+a^4&...&+a^n&&\to(=\dfrac{a-a^{n+1}}{1-a})\\ \\ & +a^2 & +a^3&+a^4&...&+a^n&&\to(=\dfrac{a^2-a^{n+1}}{1-a})\\ \\ &  & +a^3 & +a^4&...&+a^n&&\to(=\dfrac{a^3-a^{n+1}}{1-a})\\ \\ &  &  & ... & ...&...\\ \\ &  &  &  &  & +a^n&&\to(=\dfrac{a^n-a^{n+1}}{1-a}) \\ \end{array} \\ \]

Et on somme "verticalement" les sommes partielles "horizontales".

Posté par
Glapion Moderateurre : Calcul d'une série 03-09-14 à 15:37

Sinon la méthode classique (celle que Robot a suggéré au début d'ailleurs) c'est d'écrire
T(a)=\sum_{n=1}^{\infty}a^n T'(a)=\sum_{n=1}^{\infty}na^{n-1}=S/a
donc S = aT '(a)

reste à exprimer T(a) avec la formule des sommes de termes géométrique T(a)=1/(1-a) et de calculer T'(a)=1/(1-a)² et on déduit S=a/(1-a)²

C'est quand plus simple !

Posté par
delta-Bre : Calcul d'une série 03-09-14 à 16:14

Bonjour.

@  Robot
Exercice complémentaire : calculer T = \sum_{n=1}^{+\infty} n^2a^n

Citation :
Indication : les différences de termes successifs de la suite des coefficients forment une progression arithmétique ( (n+1)^2-n^2= 2n+1 ).

La suite u_n=n^2 est-elle vraiment une suite arithmétique?
Pour T = \sum_{n=1}^{+\infty} n^2a^n, on va essayer de faire apparaitre des séries dont on peut calculer la somme (dérivée de séries géométrique).

T = \sum_{n=1}^{+\infty} n^2a^n=\sum_{n=1}^{+\infty} n(n-1)a^n+\sum_{n=1}^{+\infty} n a^n

\sum_{n=1}^{+\infty} n(n-1)a^n=a^2\sum_{n=1}^{+\infty} n(n-1)a^{n-2}=a^2\left(\sum_{n=1}^{+\infty} a^{n}\right)''

\sum_{n=1}^{+\infty} na^n=a \sum_{n=1}^{+\infty} n a^{n-1}=a\left(\sum_{n=1}^{+\infty} a^{n)\right)' (

Posté par
boninmire : Calcul d'une série 03-09-14 à 16:37

@Glapion: oui mais Vlam a dit qu'il n'avait pas encore droit à la dérivée, il est trop petit

@delta-B: ça aussi, Vlam peut le mettre en réserve pour quand il sera grand

... et on peut lui révéler que par dérivations successives on devrait réussir à généraliser à nkan , pour k fixé.

Posté par
Robotre : Calcul d'une série 03-09-14 à 18:20

@ delta-B : tu pourrais faire l'effort de comprendre ce que tu lis !
Quand j'écris que "les différences de termes successifs de la suite des coefficients forment une progression arithmétique" et que je spécifie en plus (n+1)^2-n^2= 2n+1, je n'affirme certainement pas que la suite u_n=n^2 des coefficients est une suite arithmétique.

Par ailleurs l'exercice ne t'était pas destiné, mais destiné à Vlam. mais comme il n'est pas revenu, je le fais de la manière suggérée, sans dérivation.

(1-a) T= \sum_{n=1}^{+\infty} (2n-1) a^n = 2\,\sum_{n=1}^{+\infty} na^n -\sum_{n=1}^{+\infty} a^n = 2\, \dfrac{a}{(1-a)^2}- \dfrac{a}{1-a} = \dfrac{a\,(1+a)}{(1-a)^2}

d'où T= \dfrac{a\,(1+a)}{(1-a)^3} .

Posté par
delta-Bre : Calcul d'une série 03-09-14 à 19:29

Bonjour.

Citation :
@ delta-B : tu pourrais faire l'effort de comprendre ce que tu lis !

Exact.
Citation :
Par ailleurs l'exercice ne t'était pas destiné, mais destiné à Vlam.


Exact aussi!
A  l'avenir, je m'abstiendrai de répondre  aux questions que tu poses.

Posté par
arimare : Calcul d'une série 04-09-14 à 03:08

Le problème de la dérivée se pose pour la limite mais pas pour les sommes partielles ...
Pourquoi ne pas dériver les sommes partielles et prendre la limite ensuite? Trop petit pour ne pas connaître les théorèmes classiques ne dispense pas de démontrer les résultats sur des cas (très) particuliers

Posté par
boninmire : Calcul d'une série 04-09-14 à 10:03

@arima : Exact !

Posté par
Vlamre : Calcul d'une série 04-09-14 à 21:59

Bonsoir!

Désolé de ne pas avoir répondu plus tôt, j'étais persuadé que la discussion était close...

@frenicle: ca a l'air plutôt joli comme résolution mais j'ai un peu de mal à conclure haha :p

@Robot: Merci beaucoup pour l'exercice, c'est drôlement chouette de ta part! Je m'y attaque tout de suite (j'ai sauté le message où tu indiques la réponse).

Oui j'ai techniquement pas encore le droit aux dérivées, donc j'y avais même pas pensé pour tout vous dire...
Je retiens les méthodes exposées ici, ca devrait beaucoup me servir lorsque je vais les faire!

Posté par
Vlamre : Calcul d'une série 04-09-14 à 22:15

Alors j'ai:

Soit TN la somme partielle associée
(1-a)T_N = \sum_{n=1}^N n^2a^n - n^2a^{n+1}

Je regarde les rangs comme précédemment:

u_1 = a - a^2 \\ u_2 = 4a^2 - 4a^3 \\ ...

Et quand on somme (comme le précise ton indication):

\sum_{n=1}^N u_n = \sum_{i=1}^N (2n-1)a^n (j'ai écris 2n+1 au début mais je vois que ca colle pas, ca ca fonctionne par contre, c'est à cause du télescopage qu'est différé d'un rang?).

Donc T_N = \frac{1}{1-a} \times( 2S_N + \frac{1-a^{N+1}}{1-a}) et on passe à la limite pour conclure?

Posté par
Vlamre : Calcul d'une série 04-09-14 à 22:16

Ca ressemble à ce que tu as fait, tant mieux!

Encore merci et à bientôt

Posté par
Robotre : Calcul d'une série 04-09-14 à 22:20

Avec plaisir.

Posté par
freniclere : Calcul d'une série 04-09-14 à 23:55

Bonsoir Vlam

Je détaille un peu.

On décompose la somme partielle de rang n selon le tableau triangulaire ci-dessous.
Chaque ligne est une suite géométrique dont la somme est indiquée au bout de la ligne après la flèche.

\[ \\ \begin{array}{cccccccc} \\ a & +2a^2 & +3a^3&+4a^4&...&+na^n=\\ \\ a & +a^2 & +a^3&+a^4&...&+a^n&&\to(=\dfrac{a-a^{n+1}}{1-a})\\ \\ & +a^2 & +a^3&+a^4&...&+a^n&&\to(=\dfrac{a^2-a^{n+1}}{1-a})\\ \\ &  & +a^3 & +a^4&...&+a^n&&\to(=\dfrac{a^3-a^{n+1}}{1-a})\\ \\ &  &  & ... & ...&...\\ \\ &  &  &  &  & +a^n&&\to(=\dfrac{a^n-a^{n+1}}{1-a}) \\ \end{array} \\ \]

Il suffit alors de faire le total des sommes des lignes :

\dfrac{a-a^{n+1}}{1-a}+\dfrac{a^2-a^{n+1}}{1-a}+...+\dfrac{a^n-a^{n+1}}{1-a}=\dfrac{(a+a^2+...+a^n)-na^{n+1}}{1-a}=\dfrac{\dfrac{a-a^{n+1}}{1-a}-na^{n+1}}{1-a}=\dfrac{a(1-a^n)}{(1-a)^2}-\dfrac{na^{n+1}}{1-a}

Expression qui a pour limite \dfrac{a}{(1-a)^2} comme attendu


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