Niveau Licence Maths 1e ann

Espérance composée loi de poisson

Posté par
zizou 02-09-14 à 20:22

Bonjour,

Problème:

On considère X suivant une loi de Poisson de paramètre lambda, et Y =exp(X).

Je dois calculer l'espérance de Y:

E[Y]=exp(k)x exp(-lambda)x lambda^k /k!

Y a il moyen de simplifier E[Y]?

Je vous remercie d'avance

Posté par re : Espérance composée loi de poisson 02-09-14 à 20:57

On somme sur quoi ? Il vaut mieux l'indiquer, et sortir de la somme tout ce qui ne dépend pas de l'indice sur lequel on somme.
Oui, il y a moyen de simplifier. Souviens-toi que $\exp(k)= e^k$ .

Posté par re : Espérance composée loi de poisson 03-09-14 à 03:01

Bonjour,
c'est une application immédiate de la loi des espérances itérées

http://fr.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%A9rance_math%C3%A9matique#Loi_de_l.27esp.C3.A9rance_it.C3.A9r.C3.A9e

Si X=k fixé, que vaut E[Y]?

Posté par re : Espérance composée loi de poisson 03-09-14 à 11:28

oui, mais bon s'il est en terminale, c'est pas évident...

$\sum_{k \ge 0}\dfrac{e^ke^{\lambda}\lambda ^k}{k!}$

$=e^{\lambda}\sum_{k \ge 0}\dfrac{e^k\lambda ^k}{k!}$

$=e^{\lambda}\sum_{k \ge 0}\dfrac{(e\lambda) ^k}{k!}$

$=e^{\lambda}e^{e\lambda}=e^{\lambda(e+1)}$

il faut surtout connaitre : $\forall x\in\C\qquad{\rm e}^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$

Posté par re : Espérance composée loi de poisson 03-09-14 à 11:34

sans erreur de signe, c'est mieux...

$\sum_{k \ge 0}\dfrac{e^ke^{-\lambda}\lambda ^k}{k!}$

$=e^{-\lambda}\sum_{k \ge 0}\dfrac{e^k\lambda ^k}{k!}$

$=e^{-\lambda}\sum_{k \ge 0}\dfrac{(e\lambda) ^k}{k!}$

$=e^{-\lambda}e^{e\lambda}=e^{\lambda(e-1)}$

Posté par re : Espérance composée loi de poisson 04-09-14 à 02:24

Moi je vois niveau licence je réponds niveau licence.
S'il est en terminale et qu'il met que c'est niveau licence c'est son problème...

Est-ce qu'on aborde des questions aussi abstraites en terminale?