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forme exponentielle

Posté par
sypso
02-09-14 à 21:17

Bonsoir,

J'ai fais un exercice dont je ne comprends pas la correction. Si vous pouviez m'aidez.

Calculer (1+i)^10 + (1-i)^10

Donc j'ai mis sous la forme exponentielle.

Je passe les calculs de module et de .

( (2)exp( i /4)^10 + ( (2)exp(-i/4)^10

D'après la formule de Moivre:

32 (exp(10xi/4)) + (exp (-10xi/4))

32 (exp(5xi/2)) + (exp (-5xi/2))

(jusque là j'avais trouvé. Mais je comprends pas la ligne d'après)

32 x 2 cos ( 5/2).

C'est une formule à connaître?

Merci d'avance.

Posté par
Priam
re : forme exponentielle 02-09-14 à 21:34

Je pense que c'est l'application de la formule

cos x = (eix + e-ix)/2 .

Posté par
sypso
forme exponentielle 02-09-14 à 21:34

J'ai vu dans un autre post:

1= exp(i) x exp(- i)

2 cos = ( 2 cos (5/2) dans mon exercice)

Mais c'est quoi le rapport entre les deux lignes?

Merci d'avance

Posté par
sypso
forme exponentielle 02-09-14 à 21:38

Oui merci c'est la formule d'Euler. je l'avais zappée celle là.  (désolé)

Bonne soirée.

Posté par
Priam
re : forme exponentielle 02-09-14 à 21:39

Tout cela ne me paraît pas clair : x, , 5/2 . . .  

Posté par
sypso
forme exponentielle 02-09-14 à 21:45

= 5/2

Qu'est ce qui ne parait pas clair?

Posté par
Francchoix
conjugaison. 03-09-14 à 11:08

Tu peux remarquer que  z=(1+i)^{10} et  \overline{z}=(1-i)^{10} sont conjugués;

on a donc   z+\overline{z}=2Re(z), ce qui donne (1+i)^{10}+(1-i)^{10}=2Re((1+i)^{10})=Re((\sqrt{2})^{10}e^{10i\pi/4}=(2^5)(cos(\pi/2)=0.

Posté par
sypso
conjugaison 03-09-14 à 19:16

Bonjour,

Comment tu passes de 2Re((1+i)10)= Re (((2))10exp(10 i/4))  et même la ligne d'après?

Le 2 devant Re, il passe où? (2) exp ( i/4) ça c'est la forme exponentielle de z x puissance 10. mais le 2 a disparu?

Ensuite Re = 1 donc pourquoi le 25?

Merci d'avance

Posté par
Francchoix
complément 04-09-14 à 10:25

Effectivement, le 2 je l'ai oublié en passant, mais il n'intervient pas. sinon, tu as:

1+i=\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+isin(\frac{\pi}{4})), donc:

(1+i)^{10}=(\sqrt{2})^{10}(cos(\frac{10\pi}{4})+isin(\frac{10\pi}{4})),donc

Re((1+i)^{10}=(\sqrt{2})^{10}(cos(\frac{10\pi}{4}))


et comme  (\sqrt{2})^{10}=2^5  et   cos(\frac{10\pi}{4})=cos(\frac{\pi}{2}), on obtient:

2Re((1+i)^{10}=2^6cos(\frac{\pi}{2})=0.

remarques:  \sqrt{2} est le module de (1+i) et

\frac{10\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : forme exponentielle 04-09-14 à 11:01

Ou bien (prsque pareil) :

1 + i = V2.e^(i.Pi/4)

1 - i = V2.e^(-i.Pi/4)

(1 + i)^10 = (V2)^10 .e^(i.10.Pi/4) = 2^5.e^(i.5Pi/2) = 2^5.e^(i.Pi/2) = 2^5 * i

(1 - i)^10 = (V2)^10 .e^(-i.10.Pi/4) = 2^5.e^(-i.5Pi/2) = 2^5.e^(-i.Pi/2) = 2^5 * (-i) = - 2^5 * i

(1 + i)^10 + (1 - i)^10 = 2^5 * i - 2^5 * i = 0



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