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Raisonnement par récurrence
Bonjour, je poste donc naturellement parce que j'ai un souci au niveau d'un DM à rendre. J'ai fais la plus grosse partie mais malheureusement je bloque sur le dernier exercice. L'exercice en question est :
Pour tout entier n, on considère la propriété P(n) : " 2n
(n+1)2 "
1) Pour quelles valeurs de n, cette propriété est-elle vraie?
2) Démontrer par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour les valeurs de n trouver en 1
Alors voici le travail que j'ai fais :
Pour le 1) j'ai fais manuellement P(0) vrai, P(1) faux etc jusque m'apercevoir que P(7), P(8), P(9) 10, 11, 12 vrai . Bon il y a une infinité donc c'est juste pas possible de calculer comme ça. J'ai calculer au hasard P(52) par exemple, et on vois que la propriété est fausse. Je n'arrive pas à comprendre comment trouver toutes les valeurs de n pour lesquelles la propriété est vrai
Pour le 2), j'ai tenter de me lancer dans une raisonnement par récurrence, qui contredit un peu le travail manuel que j'ai fais jjuste avant.
Ça donne :
On remarque que la propriété semble exacte à partir du rang 7
Initialisation : P(7) vrai (je ne poste pas les détails)
Hérédité : On suppose que pour un rang 7 P(n) vrai
Alors 2n+1 = 2
2n (n+1)22
= 22n (n2+1+2n)2
=22n 2n2+2+4n
Or, pour tout n7, on a 2n2+4n+2(n+2)2
On en déduit que pour tout n7, 2n+1>(n+1)2 ce qui fait que P(n+1) vrai
Voilà pour le 2) j'ai repris le modèle d'un exercice similaire trouvé sur internet, qu'en pensez vous?
Merci
salut
oui c'est correct .... mais attention à mettre des équivalence <==> voire même seulement des implications ==> au lieu des =
mais bon c'est un peu maladroit .... mais correct ....
Salut, merci d'avoir répondu aussi vite 
Ca semble correct, mais je ne pense pas que pour l'exo 1 par exemple, il faille tout tester juste l'infini. Il y a des chiffres pour lesquelles la proposition et vrai, et d'autres pour lesquelles ça ne fonctionne pas et ça sans suite logique! C'est la raison pour laquelle je suis assez perdue.
Puis pour l'exo 2,je viens de vérifier avec des nombres au hasard supérieur à 7 et les propositions ont l'air toujours juste, autant pour moi je ne sais pas comment j'ai fais pour me tromper là dessus
soit P(n) la propriété :
supposons P(n) vraie (hypothèse de récurrence)
or pour n >= 2 ....
la propriété est héréditaire à partir de 2
or P(5) est faux et P(6) est vraie donc P(n) est vraie pour tout n >= 6
....
voir 
D'accord, je pense avoir compris le calcul. Seulement dans l'énoncé on nous demande P(n) VRAI, pour les valeur de n trouver en 1. J'ai peur d'être notée faux si je montre que ma propriété est héréditaire à partir de 2.
Enfin tout cela m'a quand même beaucoup embrouillé et je ne sais plus quel raisonnement je doit adopter pour répondre à la question posé, bien que j'ai compris qu'une propriété peut être héréditaire mais fausse
la propriété est fausse pour n = 1, mais vraie à partir de 2.
Ton raisonnement par récurrence commence par une initialisation pour n = 2.
Bilan : une propriété peut être fausse pour les premières valeurs de n, mais vraie à partir d'une certaine valeur de n (ici n = 2).
les propriétés
P(n) :: 10n + 1 est multiple de 9
et
Q(n) :: 10n - 1 est multiple de 9
sont toutes les deux héréditaires
cependant P(n) est fausse et Q(n) est vraie
P(n) est fausse car P(0) l'est
Q(n) est vraie car Q(0) l'est
une propriété peut-être héréditaire à partir d'un rang N :: donc pour tout n >= N :: P(n) ==> P(n + 1)
cette même propriété est vraie pour un éventuel M
si M >= N alors pour tout n >= M P(n) est vraie
et pour N =< n => M il faut vérifier ..
Mon initialisation commence par P(7) vrai .. D'ailleurs c'est normalement P(6) vrai, je me suis trompée. Bon je comprend vos remarques quand elles sont isolées mais pas en liant avec ce que j'ai fais. J'ai donc comprisque mon raisonnement prouve à partir de n=3, d'après ce qu'on m'a dis. Je suis censée, je pense sauf si j'ai mal compris la consigne, montrer au rang 6. Que faudra donc t-il modifier dans mon raisonnement pour repondre à la question?
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