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Niveau première
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fonction et application géométrique

Posté par
lucile75013
16-09-14 à 22:38

Bonsoir à tous,
J'ai un exercice à faire mêlant fonction et géométrie. Je ne suis pas sûre de moi. quelqu'un pourrait il me corriger, voire me guider en cas d'erreur. Merci d'avance à tous.
Voici l'énoncé :
On considère un segment [AB] de longueur 2R (R est un réel positif fixé), de milieu O. On trace un demi-cercle de centre O, de rayon R. M est un point variable de [OA], et on appelle x la distance [OM]. On trace un rectangle MNPQ, avec N et P sur le demi-cercle, et Q le symétrique de M par rapport à O.
1) quel est l'intervalle de variation de x ?
Réponse : x = [OA] - [AM] = R - [AM]
Remarque : ça ne paraît pas très "mathématique" comme écriture...
2) exprimer MN puis l'aire du rectangle MNPQ en fonction de x et de R
Réponse : ON² = MN² + OM²
MN² = ON² - OM² = R² - x² <=> MN = √(R²) - √(x²)  = R - x
Aire MNPQ = MQ X MN = 2x(R - x) = 2Rx - 2x²
3) on veut que l'aire du rectangle soit égale à la moitié de celle du demi-disque. Montrer que cela revient à résoudre l'équation :
4x² - 4R²x² + (π²R⁴)/16 = 0. Et en déduire la ou les valeurs de x répondant au problème.
Réponse : aire de la moitié du disque = πr²/2 = π2R²/2
π2R²/2 = 2Rx - 2x² <=> π2R²/2 - 2Rx + 2x² = 0
(π2R² - 4Rx + 4x²) / 2 = 0
Et après je bloque, je vois bien les carrés, mais je ne comprends pas.
Merci d'avance,
Lucile

Posté par
nivekiba
re : fonction et application géométrique 16-09-14 à 22:52

refais bien tes calculs

Posté par
lucile75013
re : fonction et application géométrique 16-09-14 à 23:08

D'accord, j'ai fait une erreur sur l'aire du demi disque, cela donne donc :
πR²/2 = 2Rx - 2x² <=> πR²/2 - 2Rx + 2x² = 0
et si on met tout au carré, on trouve effectivement : 4x² - 4R²x² + (π²R⁴)/16 = 0
Mais comment justifier le passage au carré ?
Merci d'avance

Posté par
lucile75013
re : fonction et application géométrique 16-09-14 à 23:51

Ensuite je dois factoriser 2x² - 2Rx + πR²/2 = 0
avec a = 2 ; b = -2R et c = πR²/2
Delta = b² - 4ac
= 4R² - 4 x 2 x πR²/2
= 4R² - 4πR²
= 4R² (1 - π)
Delta n'est pas = 0
donc on imagine que delta est > 0, sinon on ne peut pas factoriser, et on ne peut pas trouver les valeurs de x.
Et en même temps, 4πR² est forcément supérieur à 4R², donc Delta devrait être négatif...

x1 = [2R - √(4R² - 4πR²)] /4 = (2R - 4R√π) /4 = 4 ( 1/2R - R√π)
x2 = [2R + √(4R² - 4πR²)] /4 = (2R - √π) /4

S'il vous plaît, pourrait-on me dire si l'exercice est bon, et dans le cas contraire  m'expliquer où j'ai commis une erreur ou ce ce que je n'ai pas compris.
Merci à tous,
Lucile

Posté par
lucile75013
re : fonction et application géométrique 17-09-14 à 19:13

bonsoir, quelqu'un pourrait-il me corriger mon exercice svp, c'est vraiment important pour toi.
Merci d'avavnce,
Lucile

Posté par
mathafou Moderateur
re : fonction et application géométrique 17-09-14 à 22:09

comme nivekiba t'a lâchement laissé tomber je reprends tout :

1) quel est l'intervalle de variation de x ?

un intervalle de variation c'est sous la forme a x b ou x [a; b]

on te dit déjà dans l'énoncé même que x est >0
en plus de ça comme M est sur OA, au pire M sera en A et x sera au pire = R
donc la réponse c'est [0; R]

2)
MN² = ON² - OM² = R² - x² <=> MN = √(R²) - √(x²) = R - x
complètement faux

la racine carrée d'une somme (ou ici d'une différence) n'est ABSOLUMENT PAS la somme (ici la différence) des racines carrées

MN = \sqrt{R^2 - x^2} et ça ne se simplifie pas.

l'aire est donc 2x\sqrt{R^2 - x^2}

on veut que ce soit égal à la moitié de l'aire du demi disque
aire du disque \pi R^2
la moitié de l'aire du demi-disque c'est le 1/4 de ça : \dfrac{\pi R^2}{4}
et donc l'équation :

2x\sqrt{R^2 - x^2} = \dfrac{\pi R^2}{4}

comme les racines carrées embêtent et que il s'agit de nombres >0 , on peut élever les deux membres au carré

(A = B A² = B² pour des nombres >0)

4x^2(R^2 - x^2) = \dfrac{\pi^2 R^4}{16}
soit en développant et en mettant tout du même côté (le bon côté) :


4x^{\red 4} - 4R^2 x^2 + \dfrac{\pi^2 R^4}{16} = 0
qui est bien l'équation de l'énoncé, si tu l'avais recopiée correctement.


comme on n'a pas appris à résoudre les équations du 4ème degré, on va poser x^2 = Y
et cela donne l'équation (à résoudre)
4Y^2 - 4R^2 Y + \dfrac{\pi^2 R^4}{16} = 0
que l'on peut arranger un peu pour supprimer les fractions en multipliant tout par 16 :
64Y^2 - 64R^2 y + \pi^2 R^4 = 0

à toi de jouer ...

(delta sera bien >0 cette fois)
au final on trouvera x = \sqrt{Y}, une fois qu'on aura résolu l'équation en Y.

Posté par
lucile75013
re : fonction et application géométrique 17-09-14 à 22:20

whaouh... Je ne suis qu'en première...
Merci mille fois, je vais travailler sur cette démonstration toute la soirée et je me reconnecterai demain en rentrant du lycée vers 17h30 pour vous montrer ce que j'ai trouvé, en promettant de ne pas faire de multipost mais d'utiliser le up comme vous me l'avez conseillé.
Merci vraiment d'avoir pris du temps pour moi, je vais essayer de ne pas vous décevoir.
Très bonne fin de soirée,
Lucile

Posté par
mathafou Moderateur
re : fonction et application géométrique 17-09-14 à 22:32

tous ces calculs sont bien du niveau 1ère tranquille
ce n'est que des développements et des simplifications d'expressions !!

le seul truc un peut "hard" c'est le coup de l'équation bicarrée
c'est une astuce classique (mais on ne la trouve sans doute qu'au détours d'exercices, et pas en cours) :
on fait un changement d'inconnue pour se ramener au second degré, qu'on sait alors résoudre

c'est dans un chapitre : "équations qui se ramènent au second degré"
on y trouve tout un tas de cas où de telles équation "affreuses" se ramènent par un changement d'inconnue à une simple équation du second degré.
tu en rencontreras d'autres ...

c'est vrai que la première fois qu'on rencontre cette astuce, ça fait bizarre...
il est étonnant que cela ne soit pas suggéré dans l'énoncé même ...

Posté par
lucile75013
re : fonction et application géométrique 17-09-14 à 22:41

en tout cas, merci pour votre soutien et votre patience. et aussi pour toutes les explications qui m'ont été très utiles.
je me suis aperçue que j'avais fait des erreurs très bêtes comme le passage des carrés aux racines (c'est mon problème quand j'ai à faire à des inconnus plutôt qu'à des réels), et que j'avais mal lu également l'énoncé (la moitié du demi disque, c'est effectivement 1/4 et non 1/2). Le prof nous donne tellement d'exercices pour la semaine que je finis par m'embrouiller...
je vous souhaite une très bonne fin de soirée.
et encore merci.
Lucile



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