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Sommes doubles

Posté par
Echizen 16-09-14 à 22:42

Bonjour,

Je viens de commencer le chapitre sur la manipulation des sommes / produits, mais je bloque sur les méthodes pour écrire des sommes doubles. Pourriez-vous m'aider et me dire à quoi correspond ces sommes ?

1) \sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^n \frac{i}{j}

2)Sn= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n min(i,j)

3)\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n \left(\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right)

Je vous remercie

Posté par
Slightre : Sommes doubles 16-09-14 à 22:49

Roh, c'est super long à écrire ! Surtout au clavier !
Mais pour mieux te représenter, mets des parenthèses autour de ton premier signe somme et ton terme et développe, puis recommence

Posté par
Echizenre : Sommes doubles 16-09-14 à 22:52

Je vous remercie pour votre réponse, malheureusement je ne comprends pas la méthode, pour le 1 par exemple comme j=i et non pas un nombre je ne vois pas...

Posté par
Slightre : Sommes doubles 16-09-14 à 23:17

Mais si ! i vaut 1, tu fais la seconde somme, puis i vaut 2, tu refais la seconde somme, et ainsi de suite
Peut-être qu'effectivement, c'était mal expliqué la première fois, c'est mieux ?

Posté par
franzre : Sommes doubles 17-09-14 à 01:10

\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^n%20\frac{i}{j}=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^j%20\frac{i}{j}=\sum_{j=1}^n\frac{1}{j}\sum_{i=1}^j%20i=\sum_{j=1}^n\frac{1}{j}\frac{j(j+1)}2 =\sum_{j=1}^n\frac{j+1}2=\frac{n(n+3)}4

Posté par
franzre : Sommes doubles 17-09-14 à 01:26

\sum_ {i = 1}^n \sum_ {j = 1}^n  \min (i, j) = \sum_ {i = 1}^n \left( \sum_ {j = 1}^{i}  \min (i, j)+  \sum_ {j = i+1}^{n}\min (i, j)\right)=\sum_ {i = 1}^n\left( \sum_ {j = 1}^{i}  j+  \sum_ {j = i+1}^{n}i\right) = \sum_ {i = 1}^n\left( \frac {i(i+1)}2  +  (n-i) i\right)\\ = \frac 1 2 \sum_ {i = 1}^ni(2n+1-i)= \frac 1 2 \left( (2n+1 )\sum_ {i = 1}^n i - \sum_ {i = 1}^n i^2\right) = \frac 1 2 \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}6 \right)=\red \frac{n(n+1)(2n+1)}6

Posté par
franzre : Sommes doubles 17-09-14 à 01:30

\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n \left(\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right) = \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n \left(\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right)1^j 1^{i-j} = \sum_{i=0}^n (1+1)^i = \sum_{i=0}^n 2^i = \frac {2^{n+1}-1}{2-1}=\red 2^{n+1}-1


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