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Niveau troisième
Comment résoudre le calcul suivant
Posté par Sail31
Bonjour,
On me propose le calcul suivant dans un exercice :
S= 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + ... + 1/(98*99) + 1/(99*100)
Donner le résultat de S.
Après démonstration, je peux dire que 1/(n*(n+1)) = 1/n-1/(n+1). Sur un autre forum, une personne explique que le calcul revient à faire 1-1/(n+1) soit ici 1-(1/100) = 0,99. J'ai vérifié en faisant un calcul avec moins de fractions - ex. 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) = 0,8 - que c'est bien égal à 1-1/5 = 1-0,2 soit 0,8. La méthode fonctionne mais je suis incapable d'expliquer pourquoi cela fonctionne ainsi. Pourquoi faire ce calcul revient systématiquement à faire 1-(1/le plus grand nombre trouvé au dénominateur)?
Quelqu'un peut-il m'aider? Merci par avance!
Sail.
Il te suffit de remplacer chaque terme de la forme 1/n(n+1) par 1/n - 1/(n+1) et de regarder :
S = (1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+....+ (1/(n-1)-1/n)+(1/n - 1/(n+1))
tu vois que presque tous les termes se simplifient, par exemple -1/2+1/2 ou -1/3+1/3 etc ... -1/n+1/n
il ne reste que le 1 du début et le -1/(n+1) à la fin.
Et donc S = 1- 1/(n+1) = n/(n+1) aussi