La pièce et le damier.

Posté par J-P J-P

Sur un damier, que l'on pourra considérer comme infiniment grand, chaque case est un carré de 58 mm de coté.

Les lignes délimitant les cases du damier sont d'épaisseur négligeable (considérée comme nulle).

On lance sans viser une pièce de monnaie de 17 mm de diamètre sur le damier.

La pièce a t-elle une plus grande probabilité de tomber à l'intérieur d'une case ou bien de recouvrir en partie une ou plusieurs lignes séparant les cases du damiers ?

Après avoir répondu à cette question, donner la probabilité arrondie à 5 décimales pour que la pièce tombe à l'intérieur d'une case.
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Bonne chance à tous.

Posté par hyaku (invité)

P(pièce tombe dans une case=(58-17)²/58²=0.49970

donc la probabilité est très légèrement en faveur du recouvrement de ligne.

Posté par philoux (invité)

bonjour,

Réponses proposées :
1°) plus de chance de recouvrir en partie une ou deux lignes séparant les cases du damiers (pratiquement, une chance sur deux)
2°) Probabilité pour que la pièce tombe à l'intérieur d'une case : 0,49970

Méthode proposée :
Analysons la position de la pièce pour une case :
soit r=D/2 le rayon de la pièce et C le côté de la case;
La pièce n'empiètra pas sur des lignes si son centre est éloigné d'au moins r des lignes =>
la pièce doit donc se situer dans le carré de côté C-2r = C-D placé au centre du carré de côté C
la probabilité d'être dans ce carré central est donc dans le rapport des aires de ces deux carrés :

(C-D)²/C² = (1-D/C)² = 1-17/58)² = 41²/58² = 0,49970273483947681331747919143876

Merci pour l'énigme,

Philoux

une remarque pour les esprits "coquins" :
On suppose, bien entendu que la pièce retombe "à plat", et non sur la tranche
Sans remettre en cause mes réponses (peut-être fausses d'ailleurs) précédentes, il aurait fallu tenir compte de ce cas et la probabilité aurait été toute différente ! (encore fallait-il connaître la probabilité de tomber sur la tranche...)

Une suggestion :
J-P tu aurais pu demander la probabilité de recouvrir une intersection de lignes :
Dans ce cas, je trouve (D/C)² = (17/58)² = 8,6 % ; c'est exact ?

Posté par goupi1 (invité)

Bonjour. C'est une variante de l'aiguille de Buffon plus simple à mon avis car il suffit de faire le rapport des surfaces des 2 carrés : celui intérieur où aucune pièce ne touche un bord et celui d'une case.
A la première question je réponds que la pièce a une plus grande probabilité de toucher au moins une ligne.
A la 2e question : Probabilité que la pièce tombe à l'intérieur d'une case est de 41²/58² soit 0,49970 arrondi à 5 décimales.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Pour que le jeton ne touche aucune limite de case, il faut que son centre se trouve dans un carré central de (58-17) = 41 mm de côté (pour une fois, j'ai fait attention à la différence entre rayon et diamètre!!!)).
La probabilité que le jeton ne touche aucun bord est donc (41/58)² = 0,49970.
Pour qu'il ne touche qu'un seul côté il devra se trouver dans l'un des 4 rectangles de dimension 41*8,5. La probabilité que le jeton ne touche d'un côté est donc de (4*8,5*41)/58² = 0,41439
La probabilité pour plus qu'un côté est de 4*(8,5/58)² = 0,08591.

La pièce a une plus grande probabilité de recouvrir en partie une ou plusieurs lignes séparant les cases du damiers (p= 0,41439 + 0,08591 = 0,50030) que de tomber à l'intérieur d'une case (p= 0,49970).
La probabilité arrondie à 5 décimales pour que la pièce tombe à l'intérieur d'une case est donc de 0,49970.

Posté par Youpi Youpi

Pour que la pièce ne touche pas les lignes du damier il faut que le centre de la pièce tombe dans un carré de 58-17=41cm de côté.
La surface de ce carré est 41²=1681 cm² et la surface restante dans la case est 58²-41²=1683 cm².
On en conclut que la pièce à légérement plus de chance de recouvrir en partie une ou plusieurs lignes séparant les cases du damiers que de tomber à l'intérieur d'une case.
La probabilité arrondie à 5 décimales pour que la pièce tombe à l'intérieur d'une case est donc :
p=0,49970

Posté par gloubi gloubi

Re-bonjour,

soit C la largeur d'une case du damier, et P le diamètre de la pièce.

La probabilité pour la pièce de tomber sur une ligne "verticale" est P/C
Probabilité de ne pas tomber sur une ligne "verticale": 1-P/C

Mêmes valeurs pour les lignes "horizontales".

D'où probabilité de tomber à l'intérieur d'une case: (1-P/C)²
Pour que la piéce ait plus de chance de tomber à l'intérieur d'une case son diamètre doit être inférieur à 58*(1-racine(2)/2) soit 16.9878... cm, ce qui n'est pas le cas. Donc réponse "non" pour la première question.

Pour la deuxième, (1-17/58)² = 0.49970.

A+

Posté par infophile infophile

La pièce a une plus grande probabilité de recouvrir en partie une ou plusieurs lignes séparant les cases du damier.

La probabilité que la pièce tombe à l'intérieur d'une case est de 1681/3364 soit 0,49970.

Posté par jacques1313 jacques1313

J'ai considéré un quart de case, pour des raisons symétriques.
Son aire vaut 29² mm² = 841 mm².
La pièce sera dans cette case si son centre se trouve dans(*) le carré ce côté 20,5 mm et donc d'aire 420,25 mm². La partie restante, en forme de L, vaut 841-420,25 mm² = 420,75 mm².
Ainsi, la pièce a une moins grande probabilité de tomber à l'intérieur d'une case. Celle-ci vaut : 420,25/841 0,49970.

(*) Peu importent les frontières puisque leur aire est nulle...

Posté par manpower manpower

Bonjour,

Sympatique énigme surtout au vu du résultat !

D'abord la question...
La pièce a t-elle une plus grande probabilité de tomber à l'intérieur d'une case ou bien de recouvrir en partie une ou plusieurs lignes séparant les cases du damiers ? La pièce a une plus grande probabilité de recouvrir en partie une ou plusieurs lignes séparant les cases du damiers.

Ensuite, le damier étant infini, ce qui n'est pas pratique (mais nécessaire pour que la pièce ne tombe pas hors du damier, donc l'infini sert à se limiter au damier !!), on va se limiter à une seule case.
En effet, les lignes étant d'épaisseur négligeable, on peut affirmer que le centre de la pièce appartient nécessairement à une seule case.
Reste à étudier les positions de ce centre.
Pour que la pièce soit totalement à l'intérieur d'une case, il faut que son centre soit situé à 8,5mm du bord (le rayon) donc dans le carré vert en pointillé (cf figure - pièces bleues). Dans le cas contraire, la pièce peut chevaucher 2,3 ou 4 cases (cf figure - pièces rouges).
Il suffit donc de calculer le rapport des aires du carré vert et de la case.
La probabilité p cherchée vaut p= (à 5 décimales près)

Merci pour l'énigme.

_{NB: On peut également calculer les autres probabilités... pour le chevauchement de 2 cases etc.}

Posté par Dal (invité)

Je trouve les probabilités suivantes:

P(pièce tombe à l'intérieur) = 144/841
P(pièce touche/couvre une ligne) = 697/841

Donc, la pièce a plus de chance de toucher/couvrir partiellement une ligne que de tomber à l'intérieur d'une case.

Et la probabilité qu'elle tombe à l'intérieur d'une case vaut approximativement 0,17122.

Merci pour l'énigme!

Posté par franz franz

Si on veut mettre en évidence de manière empirique le fait que la probabilité qu'une pièce se situe à l'intérieur d'un carreau est inférieure à celle qu'elle coupe une ligne au moins, il va falloir faire un sacré nombre de lancers.

Cette première probabilité vaut .

Posté par piepalm piepalm

La pièce ne touchera pas le quadrillage si son centre est situé dans un carré de coté 58-2*17=24mm dont la surface est 576 mm2 à comparer avec 3364 mm2
La probabilité est donc plus grande que la pièce recouvre le quadrillage, et la proba qu'elle soit strictement à l'intérieur est 0,17122 ou en core 17,122%

Posté par geo3 geo3

Bonjour.
Je pense sans certitude aucune que la probabilité que la pièce tombe à l'intérieur d'une case est plus petite que la probalité de tomber en dehors.
Je pense qu'elle vaut 0,17122.
J'ai juste fait le rapport entre l'aire du carré intérieur de côté 24 (58-34)et du grand carré de côté 58.
Si le côté carré était le double on aurait presque une chance sur 2. (0,5)
A plus.

Posté par sof (invité)

premièrement, il faut avouer que c'est une énigme qui ne peut etre resolue par un collégien comme moi ni meme  par un lycéen.je laisse donc la parole à mon père qui n'est pas très sur:
la pièce de monnaie a une probabilité de tomber à l'intérieur d'une case plus grande que la probabilité de recouvrir en partie une ou plusieurs lignes séparant les cases du damier.
pour ce qui est de la probabilité à calculer elle est sensiblement égale à 0,81340

Posté par piepalm piepalm

Bon, je crois que j'ai encore mélangé rayon et diamètre!
La bonne réponse doit être 49,970 %

Posté par borneo borneo

J'ai deux calculs différents... un qui me donne presque une chance sur deux de ne pas tomber sur une ligne, et un autre qui me donne dans les 70 %. Donc j'ai testé avec un pog de 42 mm de diamètre sur mon carrelage de cuisine qui fait dans les 15 cm de côté. Résultat, une chance sur deux. Donc j'opte pour le calcul
p(tomber à l'intérieur) = 41*41/58*58

Ma réponse : La pièce a une plus grande probabilité de recouvrir en partie une ou plusieurs lignes séparant les cases du damiers
Proba de tomber à l'intérieur = 0,49970  (5 décimales en arondissant)

Posté par philoux (invité)

Re,

Je pense m'être trompé dans la question subsidiaire de mon post d'hier 16:01

si on cherche la proba que la pièce tombe sur une intersection du damier, on devrait avoir :

P= pi.(D²/4)/C² = (pi/4)(D/C)² = 6,7 % qui est(serait ?) le rapport de la surface de la pièce à celle du carré.

Je doute cependant de ce résultat et aimerai avoir votre avis sur le raisonnement suivant :

J'ai cherché, pour un carré donné de côté C, le diamètre de la pièce minimal tel que la pièce recouvre (au moins) une intersection à tous les coups (proba=1).

pour celà, j'ai dit que (pi/4)(D/C²) = 1 => D = rac(4/pi).C

Puis j'ai pris le problème autrement, en disant que le cas le plus défavorable est quand la pièce a son centre sur celui du carré; j'ai alors cherché le rayon minimal tel que la pièce recouvre une intersection (elle recouvrira alors les 4 intersections qui l'entourent) et j'ai trouvé :

r² = 2.(C/2)² => r=(1/V2)C => D = (V2).C

A votre avis, quelle valeur de D est-elle juste :

D = rac(4/pi).C
ou
D = rac(2).C

j'ai l'impression de ne pas répondre au même problème dans les deux cas...

Merci pour votre correction,

Philoux

Posté par caylus caylus

Bonjour,
La pièce a une plus petite probabilité de tomber à l'intérieur d'une case.

p=

Posté par jonjon14 (invité)

Etant donné que toutes les cases sont identiques, on peut analyser la case sur laquelle la pièce tombe.

La condition nécéssaire (et suffisante) pour que la pièce (en bleu) ne chevauche pas le bord de la case est que son centre tombe dans le carré rose.
Sachant que l'ensemble des cas est : "la pièce tombe dans la case" et que le cas qui nous intéresse est "la pièce tombe dans le carré rose".
On obtient donc la probabilité P par rapport des aires des deux carrés :

Donc

La proba en question est d'environ .

Posté par minkus minkus

ca semble complique a premiere vue mais un dessin donne vite la reponse (enfin je crois) il faut que le centre de la piece tombe dans un carre centre dans chaque case et a 8,5 cm des cotes de chaque case

58^2 = 3364  et 41^2 = 1681  et enfin 3364 - 1681 = 1683

les nombres ont ete bien choisis, ca se joue a peu de chose

la reponse a la premiere question est : la piece a une plus grande probabilite de recouvrir une ou plusieurs lignes que de tomber a l'interieur d'une case

la reponse a la deuxieme question est : 1681/3364 soit environ 0,49970

je trouve que l'arrondi a 5 decimales est un peu mal choisi puisque la 5e est un zero a moins que je ne me sois trompe

en remplacant la piece par une aiguille on retrouve pi mais c'est une autre histoire, un peu plus complexe

Posté par sophlatueuse (invité)

La pièce a une probabilité plus grande de tomber sur les lignes qu'à l'intérieur d'une case.

La probabilité que la pièce tombe à l'intérieur d'une case est de:
1681/3364 c'est-à-dire environ 0.49970

Posté par hervé (invité)

Bon, les probas n'ont jamais été ma tasse de thé.
Mais je tente quand même.
Réponse 1 : La pièce a une plus grande probabilité de recouvrir en partie une ou plusieurs lignes.
Réponse 2 : La probabilité pour que la pièce tombe à l'intérieur d'une case est de 0,39745.
A+

Posté par kanoute (invité)

je ne sais pas

Posté par papou_28 (invité)

Ce problème revient à l'étudier sur un seule carré.
Soit A son aire :
A = 58² = 3364 mm²
Il suffit d'étudier la zone sur le carré où la pièce peut attérir sans toucher le bord.
cette zone est la partie hachurée sur le croquis.
Son aire est égale à (58-2x17)² = 576 mm²
Ainsi la probabilité pour que la pièce attérrise sur la zone hachurée : 576/3364 = 0,171224732461
la probabilité pour que la pièce attérisse sans toucher le bord est 0,17122 arrondi à 5 décimalse après la virgule.
La probabilité que la pièce attérisse sur le bord est : 0,82878
Il est donc plus probable que la pièce attérisse sur un bord que sur une case sans toucher le bord.

Posté par atomium atomium

Bonjour à tous,

Voici ma réponse:

1) la pièce a une plus grande probabilité de recouvrir en partie une ou plusieurs lignes du damier;

2) la probabilité pour que la pièce tombe à l'intérieur d'une case est de 0,42857.

Joyeuse fête de Noël à tous les membres.

atomium.

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.