Niveau Maths sup

sinus(arctanx)

Posté par
Taylor 22-10-14 à 10:17

salut tout le monde, j'ai du mal à resoudre ça:
montrer que pour tout x€R, sin(arctanx)=x/racine(1+x^2). Merci encore.

Posté par re : sinus(arctanx) 22-10-14 à 10:34

bonjour,

on sait que sin²(X) + cos²(X) = 1

donc sin²(X) = 1 - cos²(X)

or   $cos(X) = \frac{sin(X)}{tan(X)}$

donc   $sin²(X) = 1 - (\frac{sin(X)}{tan(X)})² = 1 - \frac{sin²(X)}{tan²(X)}$

et   $sin²(X)[1 + \frac{1}{tan²(X)}] = 1$

ou encore   $sin²(X)[\frac{1 + tan²(X)}{tan²(X)}] = 1$

avec   $X = artan(x)$   cela donne :

$sin²(artan(x))[\frac{1 + tan²(artan(x))}{tan²(artan(x))}] = 1$

et comme   $tan(arctan(x)) = x$ , on a :

$sin²(artan(x))[\frac{1 + x²}{x²}] = 1$

donc   $sin²(artan(x)) = \frac{x²}{1 + x²}]$

et finalement   $sin(arctan(x)) = \sqrt{\frac{x²}{1 + x²}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x²}}$