Stabilité: tu dois montrer que F(P) appartient bien à E, ce qui consiste à vérifier la condition sur son degré.
Linéarité: il y a bien un calcul à faire, à savoir montrer que pour tout X:
F(₁P₁+₂P₂)(X)= (₁F(P₁)+₂F(P₂))(X) en appliquant les définitions. Cela résulte essentiellement de la linéarité de la dérivation.

Euh c'est à dire la condition sur son degré ? ... le plus haut degré est n-1 dans E ? et le degré de P'(X) est aussi n-1 ( mais d°P(X)=1 ....)
Il n'y a pas un calcul à faire?

et pour la linéarité, il faut appliquer cette définition:
(P+Q)(X)=(de k=0 à max(n,m)) (a_k+b_k)X^k                   ?

Il faut que tu suives plus rigoureusement les définitions.
E est par définition l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus n-1. Tu dois donc vérifier que c'est le cas pour F(P).

Pour la linéarité, il n'est pas utile de développer comme tu le proposes. Tu dois appliquer la définition de F au polynôme ₁P₁+₂P₂ . Tu dois donc écrire:
F(₁P₁+₂P₂)(X) = (₁P₁+₂P₂)(X)+(1/n)(1-X)(₁P₁+₂P₂)'(X) puis utiliser notamment la linéarité de la dérivation, séparer les termes d'indices 1 et 2 et conclure que l'expression finale est celle que j'ai indiquée plus haut.

Mais dans F(P),d°P(x)=1 non? :/

P est par définition un polynôme de degré au plus n-1 .

F(P)(X)= P(X)+(1/n)(1-X)P'(X)

P' (propriétés de la dérivation) est un polynôme de degré au plus n-2 .
(1-X) est de degré 1, donc (1-X)P'(X) est de degré au plus 1 + (n-2) = n-1 et la somme:
P(X)+(1/n)(1-X)P'(X)
de deux polynômes de degré au plus n-1 est de degré au plus n-1 .

F(P) appartient donc bien à E .

Ha oui merci! j'avais mal compris que :
P est par définition un polynôme de degré au plus n-1 .  

et pour la linéarité, c'est à dire la linéarité de la dérivation? je ne vois pas ce que c'est ...

si c'est bon je sais ce que c'est ! je vais essayer

alors pour linéarité je bloque ... j'ai:
₁P₁(X)+₂P₂(X)+(1/n)(1-X)[(₁(de k=0 à n-1) (k+1)a_k+1X^k)(₂(de k=0 à n) b_kX^k)+(₁(de k=0 à n) a_kX^k)(₂(de k=0 à n-1)(k+1)b_k+1X^k)]

je ne retrouve pas comme vous aviez dit pour séparer les termes d'indices 1 et 2 ...

Ce qui te mélange, c'est d'expliciter les polynômes (déjà dit plus haut). Laisse P₁ et P₂ et applique les définitions des opérations sur les polynômes:
(P+Q)(X) = P(X)+Q(X)
(kP)(X) = k.P(X)
de sorte que tu retrouveras les indices.

oui merci beaucoup j y suis arrivé!
ensuite il y a une autre question qui me pose probleme ...
2. on considère le polynôme Pk (X) = X^(n-k).  pour k compris entre 1 et n
Expliciter Qk=F(Pk)

je suis arrivé à Qk= X^(n-k)+(1/n)(1-X)(X^(n-k))'
mais je ne sais  pas si je dois calculer la derivée?

oui je pense que je dois calculer (X^n-k))' mais je ne vois pas comment faire puisqu il n y a pas de coefficient... quelle formule dois je utilser? une formule usuelle ou celle
des polynomes? (dans ce cas je ne vois pas trop comment faire . )

s'il vous plaît, en plus je pense que j'ai besoin de cette expression par la suite ...

Bonjour,
je bloque un peu pour calculer la dérivée de ce polynôme: X^n-k
soit (X^n-k)'   car il n'y a pas de a_k ni de du coup je ne pense pas qu'on puisse utiliser la formule usuelle ...
Mais je ne vois pas laquelle utiliser sinon ...
Merci d'avance

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Bonjour,
Non, rien de particulier, ça fait (n-k)x^n-k-1

*** message déplacé ***

Ha d'accord merci !

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du coup Q_k=X^n-k+(1/n)(1-X)((n-k)X^n-k-1)
c'est bien ça ?

Salut!
Alors j'ai un devoir sur les polynômes et je bloque à quelques questions ...

énoncé:
on a n un entier, n est supérieure ou égal à 3 et j un entier supérieur ou égal à 1
E= n-1[X], F est l'application associant à tout polynôme P de E le polynôme défini par:
F(P)(X)= P(X)+(1/n)(1-X)P'(X)

j'ai déjà trouvé pour la première question que F(₁P₁+₂P₂)=₁F(P₁)+₂F(P₂)

ensuite on me dit que pour 1kn, on a le polynôme
P_k(X)=X^n-k et on me demande d'expliciter Q_k=F(P_k)

-> j'ai trouvé Q_k=X^(n-k)(X)+(1/n)(1-X)((n-k)X^(n-k-1))(X)
mais je ne sais pas si je dois encore le simplifier ce qui je pense donnerais:
Q_k=X^(n-k)(X)+(1/n)(1-X)((n-k)X^(n-k))

Merci d'avance de votre aide

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et même du coup:
Q_k= X^(n-k+1)+(1/n)(1-X)((n-k)X^(n-k))
?

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en simplifiant:
Q_k=X^(n-k+1)+(1/n)(1-X)((n-k)X^(n-k))

? c'est juste?

Ha non désolé ce serait plutôt:
Q_k= X^(n-k) + (1/n) (1-X) (n-k X^(n-k-1))

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plutôt : Qk=  X^(n-k) + (1/n) (1-X) (n-k X^(n-k-1))

Désolé, j'étais absent.
Ta première expression (10:26), oui, la "simplification", non (en particulier, X ne peut pas être à la puissance n-k+1).

Toujours pas, le coefficient de X^n-k est k/n selon moi.

Soit:
Q_k=X^(n-k-1)(X+(1/n)(1-X)(n-k))
?

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soit : Q_k=X^(n-k-1)(X+(1/n)(1-X)(n-k))

et après on me demande de déterminer tous les polynômes PE tel que F(P)=P

et là ... je ne vois pas de quel P ils parlent en fait ? si c'est le P_k de la question d'avant ou pas ...

s'il-vous-plaît aidez moi

(j'ai simplifié Qk dans le post de 17:23) la simplification est-elle bonne?

Oui, mais pourquoi vouloir conserver ce 1-X ?
Q_k(X) = X^n-k-1((k/n)X+(n-k)/n)
Mais tu as peut-être raison, c'est peut-être commode pour la suite.

P dans E n'est pas le P_k précédent, c'est un élément quelconque de E, donc un polynôme de degré au plus n-1, tandis que P_k est de degré n-k. En fait P_k est le monôme de degré n-k, tu peux donc (maintenant, c'est le moment) expliciter ("développer" si tu préfères) P(X) = ..... et l'écrire comme une combinaison linéaire des P_k. Pour exprimer que F(P) = P, tu explicites F(P) (utilisation de la linéarité qui vient d'être démontrée) et tu exprimes que les coefficients de même degré sont égaux de chaque côté de l'égalité.

d'accord merci
et on me demande de trouver tous les polynômes P E tels que F(P)=P
j'ai fait :
P(X)+(1/n)(1-X)P'(X) =P(X)
soit P'(X)= 0
mais je ne vois pas vraiment comment trouver les polynômes ...

c'est enfin bon, mais développe donc le (1-X) qu'on y voie plus clair

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et bonjour

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ok merci
ensuite il est demandé de trouver tous les polynômes PE tels que F(P)= P
je ne vois pas trop quoi faire mais j'ai fais:
P(X)+(1/n)(1-X)P'(X) =P(X)
soit P'(X)= 0
mais je ne vois pas vraiment comment trouver les polynômes ...

*** message déplacé ***

Un polynôme est nul si et seulement si tous les coefficients sont nuls. Si tu explicites P, quels sont les coefficients de P' ? Que reste-t-il alors dans P ?

mais on prends P(X)=a_kX^k ?

Oui ... donc quand tu dérives, tu obtiens que tous les coefficients sont nuls, sauf a₀, la constante, qui a disparu par dérivation. Il reste donc P(X) = a₀, autrement dit tous les polynômes constants.

tu nes connais pas les polynômes dont la dérivée est nulle ? sérieux ?

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Ha oui merci beaucoup je comprend ! et du coup a₀ il ne se calcul pas?

Ha si c'est bon, P(X)= a₀


ensuite on me donne:
k1.....n-1 et P élément non nul de E tel que :
F(P)= ((n-k)/n) P

j'ai montré que P(1)=0
et ensuite je bloque sur cette question:
On pose alors P(X)=(X-1)^r R(X)   avec r(1,...,n-1) et R(1)0
quelle relation vérifient r et R? En déduire que r=k et préciser le degré de R.

comme relation je pensais à un truc du genre d°rd°R mais je ne sais pas trop vu que P(X)=(X-1)^r R(X) n'est pas de la forme A=BQ+R ...
et alors pour en déduire que k=r ...
j'ai fait i (X-1)^r R(X) = (n-k / n)P(x) mais je ne vois pas trop où aller ...

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a₀ est une constante quelconque. L'important est que tu obtiens l'ensemble des polynômes constants, sous ensemble de E.

P(1) = 0, ça signifie que 1 est racine de P, donc on peut mettre (X-1) en facteur dans P
là, ils le mettent en facteur le plus possible

que sais-tu du degré d'un produit de polynômes ?

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d'accord merci

ensuite on me donne:
k(1.....n-1) et P élément non nul de E tel que :
F(P)= ((n-k)/n) P

j'ai montré que P(1)=0
et ensuite je bloque sur cette question:
On pose P(X)=(X-1)r R(X)   avec r(1,...,n-1) et R(1)0
Quelle relation vérifient r et R? En déduire que r=k et préciser le degré de d°R.

pour la relation j'ai pensé d°rd°R mais vu que ce n'est pas de la forme A=BQ+R je ne vois pas trop ...

sauf erreur de ma part, en calculant f(P) de deux manières différentes (directement à partir de , ou en utilisant ), tu devrais arriver à

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oui, compris pour 1 racine

le degré d'un produit de polynôme est la somme des degrés

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Si! j'ai oublié de mettre la puissance

Donc il faut calculer F(P) pour trouver quelle relation vérifient r et R? et en déduire que r=k et préciser le degré de R?

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Mais dans votre post de 18:52, il sort d'où le R' ?

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et la relation c'est donc pas par rapport au degré mais plus à une expression?

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