Énonce:
But de l'exercice: étudier une fonction f définie sur \ {1} par f(x)=(2x + 1)/(x³ - 1)

Partie 1 : Recherche des asymptotes.
1) Etudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.
2) En déduire les équations des asymptotes à la courbe C représentant la fonction f dans un repère.

Partie 2 : Etude des variations de la fonction f.
1) Etudier la dérivabilité de la fonction f et calculer sa fonction dérivée f'.
2) Pour étudier le signe de f', on considère la fonction g définie sur \ {1} par g(x)=-4x³-3x²-2.
a) Dresser le tableau de variations de la fonction g.
b) En déduire que l'équation g(x)=0 admet une unique solution dans \ {1}.
c) A l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel de calcul formel, donner une valeur approchée de à 10^-3 près.
d) En déduire le signe de g.
3) Dresser le tableau de variations de la fonction f

Partie 3 : Représentation graphique de la fonction f.
1) A l'aide d'un logiciel de géométrie, tracer les asymptotes à la courbe C et la courbe C.

Partie 4 : Etude d'une tangente.
1) Calculer l'équation de la tangente T à C en 0.
2) Etudier la position relative de C et de T

Mon ébauche :

Partie 1
1)
lim f(x) = lim 2x/x³ = lim 2/x² = 0⁺          lim f(x) = lim 2x/x³ = lim 2/x² = 0⁺
x-                                                 x+

lim f(x) = lim (2x+1)/(x³-1)=-               lim f(x) = lim (2x+1)/(x³-1)=+
x1^-                                                   x1⁺

2) Comme lim f(x)  =  lim f(x) = o⁺, alors f admet pour asymptote horizontale l'axe des abscisse (y = 0)
                x-    x+

Comme lim f(x) = - et lim f(x) = +, alors f admet une asymptote verticale d'équation x = 1
            x1^-              x1⁺

Partie 2
1)
Comme lim f(x) = - et lim f(x) = +, alors f n'est pas dérivable en 1.
            x1^-              x1⁺

f'(x) = [(2x+1)/(x³-1)]' (U/V)' = [(U'V - V'U)/V²] avec U= 2x+1U'= 2
       = (-4x³-3x²-2)/(x³-1)²                                        et V= x³-1V'= 3x²

2) g(x)=-4x³-3x²-2
a) Tableau de variations de la fonction g:
|  x  | -            +|
|g(x)|DÉCROISSANTE|

Comme g(x) est un polynôme, le sens de variations de la fonction dépend directement du signe de a, et comme a=-4, alors g(x) est strictement décroissante sur ]-;+[.

b) D'après le corollaire des valeurs intermédiaires, comme 0]-;+[, et g(x) est strictement décroissante sur ]-;+[,
alors l'équation g(x) = 0 n'admet bien qu'une seule et unique solution tel que g() = 0.

c) -1,137-1,136

d) Tableau de signe de la fonction g:
|  x  | -             +|
|      |             |             |
|g(x)|     +       0       -    |
|      |             |             |

3)
Et là je coince...

Tableau de variations de la fonction f:
|    x    | -              1       +|   Calculs des valeurs interdites:
|          |             |         |            |    (x³ - 1)² = 0
|  g(x)  |     +       0    -   |     -      |    x⁶ - 2x³ + 1 = 0
|          |             |         |             |    On pose X = x³, et on obtient:
|  g(x)  |        DÉCROISSANTE       |    X² - 2X + 1 = 0
|          |             |         |             |     = 0 x₁ = 1
|(x³-1)²|       +    |   +     0      +     |
|          |             |         |             |    En divisant les signes g(x) par ceux de (x³-1)² j'obtiens donc :
|  f'(x)  |      +     |    -   ||      -     |
|          |             |        ||             |    Et comme la variation d'une fonction dépend du signe de sa dérivée (f' négative = f décroissante (D), f' positive = f croissante (C)), j'obtiens donc :
|  f(x)   |      C     |   D   ||     D     |

Alors que la calculatrice m'annonce :
|    x    | -              1       +|
|          |0⁺                    ||+       |
|  f(x)   |           D          ||     D     |
|          |                  -||         0⁺|

Partie 3
C'est fait (via la calculatrice, c'est pas compliqué)

Partie 4
1)
(T): y = f'(0)(x-0) + f(0)   avec f'(0) = (-4(0)³-3(0)²-2)/((0)³-1)² = -2
         = -2x-1                      et f(0) = (2(0) + 1)/((0)³ - 1) = -1
2)
C est en dessous de T sur ]-;1[ puis au dessus sur ]1+[