La course.

Posté par J-P J-P

On lache simultanément une sphère et un cylindre sans vitesse initiale du haut d'un plan incliné. (L'axe de rotation du cylindre est perpendiculaire à la ligne de plus grande pente du plan incliné).

La sphère et le cylindre sont pleins et homogènes et tous deux roulent sans glisser sur le plan incliné.

La sphère arrive en bas du plan incliné avec une vitesse linéaire de 100 km/h.

Le cylindre arrivera-t-il avant, en même temps ou après la sphère, en bas du plan incliné et quelle sera la vitesse linéaire du cylindre en arrivant au bas du plan incliné ?

On indiquera la vitesse du cylindre en bas du plan incliné en km/h arrondie au 1/10 de km/h le plus proche.

(Les frottements dans l'air sont négligés).

Si vous pensez qu'on ne peut pas déterminer la vitesse du cylindre, alors répondez "problème impossible".
-----
Bonne chance à tous.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Si on écrit la conservation de l'énergie entre le haut et le bas du plan incliné, on obtient :
-pour la sphère
1/2 mv²+1/2(2/5mr²)(v/r)² = 7/10mv² =mgh, d'où v²=10/7*gh
-pour le cylindre  
1/2 m'v'²+1/2(1/2m'r'²)(v'/r')²= 3/4m'v'² =m'gh d'où v'²=4/3*gh
Donc:
v'²= (14/15)*v²

La vitesse du cylindre est toujours inférieure à celle de la sphère et ceci quelque soit la dénivelée h, la sphère arrivera donc en bas avant le cylindre.
v'2= (14/15)* 10000 = 9333
La vitesse du cylindre en bas du plan incliné est donc de : v'= 96,6 km/h

Merci J-P...J'adore ce genre d'énigme !!

Posté par alfred15 alfred15

Bonjour !

Après calcul, je trouve que le cylindre arrive après la sphère



La vitesse du cylindre en bas du plan incliné est :


Merci pour l'énigme

Posté par alfred15 alfred15

Et JOYEUX NOEL à tous (ça y est on est le 25)

Posté par goupi1 (invité)

Joyeux Noël
Sans tenir compte des frottements les vitesses sont identiques donc les 2 arrivent en même temps à la même vitesse de 100km/h.

Posté par piepalm piepalm

L'énergie cinétique par unité de masse d'un solide qui roule sans glisser sur sa circontérence de rayon R, à la vitesse linéaire V est E=V²(1+J/R²)/2 si J désigne son moment d'inertie.
Deux solides partant du même point et de même rayon auront une même variation d'énergie potentielle, donc auront la même énergie cinétique, et c'est donc celui qui a le plus faible moment cinétique qui ira le plus vite, Or pour la sphère J=2R²/5 et le cylindre J=R²/2. Le cylindre ira moins vite que la sphère, donc arrivera après, et la vitesse atteinte sera 100rac(14/15)=96,6 km/h

Posté par manpower manpower

Bonjour et au passage à tous.

Impossible n'est pas J-P

Bon je n'ai guère le temps mais goupi1 ne me laisse pas le choix...
alors je vais faire bref (enfin je vais essayer!)

On démarre avec la conservation de l'énergie totale où .
L'énergie potentielle où est la hauteur du dénivelé et la gravité.
L'énergie cinétique comporte deux composantes :
L'énergie cinétique de translation où est la masse du solide et sa vitesse
et l'énergie cinétique de rotation .
On montre que où est le moment d'inertie et la vitesse angulaire.
Puis où est une constante dépendant du solide, sa masse et son rayon.
Plus exactement pour une sphère pleine,
et pour un cylindre plein, .

On a donc, par conservation de l'énergie,
soit (avec de la relation )
puis d'où
Ainsi, pour la sphère pleine,
et pour le cylindre plein,
(indépendamment de leur masse et de leur rayon!)

Finalement si , on tire facilement la vitesse linéaire dy cylindre :
(au dixième près)
Ce qui confirme mon intuition première : . (via )

Merci pour cette très belle énigme (physique!) où avec la seule donnée de la vitesse de la sphère on peut conclure (sans les masses et rayons respectifs, ni la hauteur de la pente ou l'angle...). Bravo !

Posté par franz franz

Si désigne la hauteur qu'ont dévalé la sphère et le cylindre, l'accroissement d'énergie cinétique globale vaut dans chacun des cas :


Si le solide ne glisse pas,

Le moment d'inertie vaut dans chacun des cas
Cylindre :
Sphère   :

L'énergie cinétique de rotation vaut donc
Cylindre :
Sphère   :

Donc
Cylindre :
Sphère:

La vitesse linéaire du cylindre est donc celle de la sphère. (elle est donc inférieure).

Le cylindre arrive en bas avec une vitesse linéaire de

Posté par loulou44880 (invité)

problème impossible

Posté par loulouzib loulouzib

problème impossible car on ne connaît pas la masse de la sphère, ni celle du cylindre et ne sait pas si le plan est homogène et quel est son angle.

Posté par digital2005 (invité)

la sphere arrivera avans le cynlindre

Posté par majuju (invité)

même motif, même punition.....

arrivée ex aequo à la même vitesse, soit 1OOkm/h

Posté par TieOum (invité)

"problème impossible"


Il n'est mentionné nul part des informations sur le cylindre ou la sphére. Sur son poids, sa forme... bref... Il est impossible de déterminer la vitesse du cylindre avec si peu d'info.

Merci

Posté par OliverGab (invité)

Bonjour, Il arrive en meme temps que la sphère, à 100km/h

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponse proposée : le cylindre arrivera APRES la sphère, avec une vitesse de 96,6 km/h.

Si l'objet est ponctuel de masse m, on a la relation : (1/2)mv²=mgh représentant l'égalité entre la variation d'énergie cinétique (qui augmente) et celle d'énergie potentielle de pesanteur (qui diminue) au cours du mouvement de translation vers le bas d'une dénivelée h.

La vitesse de la masse m, en bas du plan incliné, s'écrit v° = rac(2gh) (A), indépendante de l'angle d'inclinaison du plan incliné et de la masse m de l'objet, lié uniquement à la dénivelée h.

Pour des objets non ponctuels tels que des sphères ou des cylindres, cette relation doit être reformulée de façon à tenir compte de leur mouvement de rotation : l'énergie potentielle de pesanteur est maintenant convertie, non seulement en énergie cinétique de translation, mais aussi en énergie cinétique de rotation. On a alors : (1/2)mv² + Ec(rot) = mgh (B) (puisque, pour rouler, il lui faut de l'énergie en plus que si elle glissait simplement).

Pour un système tournant à vitesse angulaire w autour d'un axe D, l'énergie cinétique de rotation s'écrit : Ec(rot) = (1/2)Iw² (C) où I est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe D.
Cette expression ressemble à celle de l'énergie cinétique de translation où la vitesse angulaire w remplace la vitesse de translation v et le moment d'inertie I joue, pour la rotation, un rôle analogue à celui de la masse m pour la translation.

Le moment d'inertie I dépend de la masse de l'objet et de sa forme géométrique. Pour des systèmes simples tels le cylindre, il s'écrit sous la forme : I = kmr² où r est le rayon du cylindre et k est un coefficient positif sans dimension dont la valeur numérique est différente selon les caractéristiques géométriques du système étudié et fonction du fait si l'objet est creux ou plein.

En utilisant les relations (B) et (C), et en tenant compte du fait que la vitesse angulaire w est liée à la vitesse de translation par la relation v = rw, la relation (A) devient : v = v°/rac(1+k) (E) qui montre que la vitesse d'un objet de masse m soumis à un mouvement de translation et rotation sera toujours inférieure à celle de la masse ponctuelle qui n'a pas de mouvement de rotation.

Revenons à la détermination de k; si l'objet était constitué d'un seul point de masse m situé à la distance r de l'axe de révolution D, on aurait  Ec(rot) = (1/2)(mr²)w².

Pour déterminer le moment d'inertie d'un objet non ponctuel tournant autour d'un axe de révolution D, on pourra considérer que celui-ci est composé d'une infinité de masses ponctuelles, mi, placées à des distances différentes, ri, de l'axe D.
Sachant que le moment d'inertie d'une masse ponctuelle mi située à la distance ri de l'axe D est donné par Ii = mi.ri², le moment d'inertie total I de l'objet sera donné par la somme des Ii : I = Somme Ii = Somme mi.ri²
Par calcul intégral, on trouve :
k = 1 pour le cylindre creux,
k = 1/2 pour le cylindre plein,
k = 2/5 pour une sphère pleine,
k = 2/3 pour une sphère creuse.
Intuitivement, on conçoit que plus le système est "ramassé" plus son moment d'inertie sera faible (plus on se rapproche du point ponctuel); pour répondre au problème posé, on peut donc "sentir" que la sphère étant plus "ramassée" que le cylindre, elle devrait aller plus vite que le cylindre car elle aura plus de facilité à se mettre en mouvement que le cylindre.

La relation (E) indique que le produit de la vitesse linéaire V par rac(1+k) est constant => V.rac(1+k)=V'.rac(1+k').
Si V est la vitesse de la boule pleine pour un k=2/5 et V' celle du cylindre plein pour un k'=1/2, on peut alors déduire V' :
V' = V.rac ( (1+k)/(1+k') ) = V.rac ( (1+2/5)/(1+1/2) ) = 100.rac((7/5)/(3/2)) = 100.rac(14/15) = 96,6 km/h.

Heureusement que le net est là pour rafraîchir la mémoire...

J'ai peur, une nouvelle fois pour des énigmes à orientation "physique appliquée", que cette énigme n'ait pas autant de réponses que d'habitude.

Merci pour l'énigme,

Philoux

Posté par Youpi Youpi

Je ne suis pas sûre à 100% mais je pense que le cylindre arrive en même temps que la sphère en bas du plan incliné, donc à une vitesse de 100,0 km/h

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.

Posté par infophile infophile

J'aime bien ce genre d'énigmes, c'est intéressant

Félicitations aux participants ayant bénéficiés un

Posté par Youpi Youpi

J'aurais mieux fait de m'abstenir sur cette énigme car je n'étais pas certaine du résultat!
En plus ma réponses me paraissait beaucoup trop simple eu égard aux 3 étoiles données par J-P.
A lire les réponses je me rend compte que j'était vraiment à côté de la plaque car j'ai complétement zappé les moments d'inertie.
Je suis plus à l'aise avec des énigmes plus mathématiques, Ces notions de physiques n'étais plus assez fraîches pour moi.
Mais bon il en faut pour tous les goûts!

Posté par philoux (invité)

Salut Youpi

Et encore si J-P avait poussé le vice à donner des valeurs numériques ou des données qui étaient inutiles, d'autres mathîliens auraient sûrement pris la peine de répondre en étant rassurés...

Si, par exemple, il avait dit :
"Cylindre et boule pleins, en matière identique, de rayons R, avec L, la longueur du cylindre telle que L=4R/3" laissant ainsi entendre qu'ils avaient la même masse, je pense qu'il y aurait eu plus de réponses empoissonnées

Philoux

Merci Kevin

Posté par infophile infophile

Pourrait-on m'expliquer comment manpower a déterminer la vitesse linéaire du cylindre ? J'ai bien suivi son raisonnement jusqu'à "Finalement..."

Merci

Posté par philoux (invité)

Vc/Vs = rapport des racines carrées (il fait ainsi disparaître le Vgh )

Philoux

Posté par infophile infophile

Merci

Posté par borneo borneo

eh bien moi, une nouvelle fois, j'arrive après la cloture, mais c'est mieux comme ça, car j'avais une mauvaise réponse

Posté par Youpi Youpi

J'aurais mieux fait d'arriver après la clôture moi aussi comme ça je serais restée en tête du classement!