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Espace vectoriel-Ker(f)-Im(f)
Bonsoir,je travaille sur un problème portant sur les espaces vectoriels.Les principales question étant des démonstrations,j'aimerai que quelqu'un vérifie mes raisonnements.
Soit E un espace vectoriel sur K. Soit f appartenant à L(E).
1.Montrer Im(f²) inclut dans Im(f).
- Soit v appartient a Im(f²). Il existe u appartenant à E tq f(f(u))=v.
Or f est une application de E dans E donc il existe w appartenant à E tq f(u)=w,donc f(w)=v ce qui prouve que v appartienant a Im(f).
2.Montrer l'équivalence Ker(f)+Im(f)=E<=>Im(f²)=Im(f).
J'ai fais le sens de droite à gauche sans difficulté. Je ne suis pas sur pour le sens gauche-droite;
-Soit u appartenant a Ker(f) et v appartenant à Im(f) et z appartenant a E.
z=u+v => f(z)=f(u+v)=>f(z)=f(v)=>f(z)=f(f(u)). Or f(z) appartient a E.Poson f(z)=v. Donc il existe bien u appartenant à E tq f²(u)=v=>v appartient a Im(f²) ie Im(f) inclut dans Im(f²).
3.Soit Gn=Im(f^n) où f^n=fofof...of
Mq (Gn) est décroissante pour l'inclusion. On fait pareil que à la premiere question sauf qu'on remplace f² par f^(n+1) et f par f^n.
Voila je ne suis pas du tout sur à propos des démonstrations que j'ai exposé. Pourriez vous me dire si j'ai fais des erreurs. Je vous remercie,bonne soirée 
1) Plutôt que de dire "il existe w appartenant à E tq f(u)=w...", dis plus simplement f(w)=v où w=f(u)
2) On suppose que Ker(f)+Im(f)=E. Montrons que Im(f)
Im(f²).
Soit v dans Im(f), c'est-à-dire qu'il existe u dans E tel que f(u)=v. Puisque Ker(f)+Im(f)=E, on peut écrire u=x+y où x dans Ker(f) et y dans Im(f). On a alors f(u)=f(x)+f(y)=f(y). y est dans Im(f) donc il existe z tel que f(z)=y. Finalement, on a v=f(f(z)) donc v est dans Im(f²).
Salut stokastik et merci. Effectivement pour la question 2, je me suis apercu qu'il y'avait mieux et j'ai fais comme toi.
Ok pour la 1,c'est vrai que c'est plus clair.
Pour la 3 je suppose que c'est pareil que pour la 1..
Merci bonne soirée
Je suis d'accord sur tous les points de ce problème. Mais j'aimerais savori si E est un espace vectoriel sur K de dimension finie ou un espace vectoriel quelconque. Si c'est le deuxième cas , j'aimerais que tu détailles l'implication gauche-droite de ton 2) stp laurierie . Merci.
Bonjour. Pour la 2 j'ai finalement fait comme Stokastik, la démonstration étant plus rigoureuse. Néanmoins il ne me semble pas avoir entendu parlé d'EV de dimension finie ou infinie encore. La seule chose que l'on sait ici c'est que E est un espace vectoriel sur K.
Voila
salut je cherche des exercices concernant le ker et l'im d'une application linéaire et j'ai trouver cet exercice dans ce forum;j'ai essayer de le résoudre mais je me suis bloqué dans la éeme question pour le sens de droite a gauche;est ce que vous pouvez m aidez a le faire?
merci d'avance
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