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dérivabilité
Bonsoir ; je bloque sur cet exercice . merci pour votre aide
Soit f une fonction infiniment dérivable sur IR
tel que 
n
*, il existe 
² / x ,
on a
1) Montrer que est une suite géométrique et
est une suite arithmétique .
2) Calculer et
en fonction de n ,
et
3) Trouver un exemple de fonction f vérifiant les hypothèses ci-dessus
Dérive ta relation, mais comme je te l'ai dit l'enoncé tel qu'il est formulé est mal foutu, voire meme faux si on veut couper les cheveux en quatre.
Remplace f' par sa valeur !
Comme je te dis, l'énoncé est mal foutu, il y a moyen de le rafistoler, mais c'est quand meme assez genant, parce que normalement tu vas bloquer quand meme à un endroit.
Je te propose de remplacer l'enoncé par le suivant qui lui est correct.
Soit f tel que f'(x)=a1f(x+b1)
montrer alors qu'il existe une suite arithmétique (a_n) et une suite géométrique (b_n) telles que
f^(n)(x)=a_n+f(x+b_n) pour tout x.
C'est presque la meme chose, mais cet énoncé là est correct alors qu'on peut fabriquer des contre exemples a ce que tu essaies de prouver, car les suites a_n et b_n ne sont pas definies de manière non ambigues.
Ben c'est ce que je te dis, tu ne peux pas conclure a partir de là, parce que tel qu'ecrit ton enoncé est faux !
Mais! Si tu modifies un peu l'énoncé de la façon dont je t'ai indiqué tu resoudras facilement l'exo avec la remarque que tu viens de faire.
pourquoi on ne peut pas dire que est une suite géométrique de raison
et que
est une suite arithmétique de raison
?
Parce que si l'énoncé choisi a_n et b_n n'importe comment, quand il y a plusieurs choix possibles, alors rien ne t'assure que an+1=an a1
Par exemple si prend f=0, alors pour tout n tu pourras trouver pleins de a_n et b_n qui verifient
f^(n)(x)=a_nf(x+b_n)
En fait n'importe quel a_n et b_n marcheront, donc si on les prend au hasard, il n'y a aucune raison que (a_n) soit géométrique et (b_n) arithmétique.
Mais par contre tu peux à chaque fois choisir un a_n et un b_n de sorte a ce que les suites verifient le truc de l'énoncé.
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