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Ensemble non dénombrable de "courbes fractales"

Posté par amethyste 05-12-14 à 04:29

Ensemble non dénombrable de "courbes fractales"

post 1/1 (ce post est fini)

Bonjour

Ici un ensemble  non dénombrable de "courbes fractales"

on dispose d'une suite infinie dénombrable d'entiers relatifs tous non nuls $(u_n)$ avec $u_i \in \mathbb {Z}^*$

à partir de cette suite on propose une construction de "courbe fractale" dans l'espace affine euclidien $\mathbb {R}^2$

il résulte donc que l'ensemble de toutes les "courbes" ainsi construites est non dénombrable et de cardinal identique à celui de l'ensemble des réels et donc de cardinal $\aleph _1=2^{\aleph _0}$

en effet l'ensemble des nombres irrationnels est de cardinal $\aleph _1=2^{\aleph _0}$ or à tout irrationnel on peut faire correspondre  une suite infinie d'entiers naturels de sa fraction continue

Sommaire

I premier outil pour la construction

II deuxième outil pour la construction

III construction d'une "courbe" à partir d'un entier relatif

IV construction d'une "courbe fractale" à partir d'une suite infinie d'entiers relatifs
1.l'ensemble $E=\{t_0,t_1,...\}$
2.la relation d'ordre totale x►y
3.l'espace topologique (E, T)
4.l'application $\ _{t}n=(l_1,l_2,...)$
5.la suite $(t_n)$

V démonstration de $Card (E)=\aleph _1=2^{\aleph _0}$

_______________________________________________________________________________

I premier outil pour la construction:

On se place dans l'espace vectoriel euclidien $\mathbb {R}^n$

Soient deux vecteurs quelconques $\vec {V}$ et $\vec {W}$ de $\mathbb {R}^n$

le produit par un scalaire est noté $\vec {Z}=\gamma.\vec {V}$

l'addition est notée $\vec {Z}=\vec {V}+\vec {W}$

et le produit scalaire euclidien est noté $\gamma = <\vec {V},\vec {W}>$

la norme d'un vecteur est notée $\gamma = ||\vec {V}||$

Soient deux vecteurs $\vec {V}$ et $\vec {W}$ de $\mathbb {R}^n$

ces deux vecteurs tels que $<\vec {V},\vec {V}>.<\vec {W},\vec {W}> - <\vec {V},\vec {W}> ^2 \neq 0$

alors on considère une loi de composition notée $\vec {Z}=\vec {V}*\vec {W}$ est un vecteur unitaire défini par l'expression

$\vec {V}*\vec {W}=\gamma.<\vec {V},\vec {V}>.\vec {W}-\gamma.<\vec {V},\vec {W}>.\vec {V}$

avec $\gamma = \frac {1}{||<\vec {V},\vec {V}>.\vec {W}-<\vec {V},\vec {W}>.\vec {V}||}$

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II deuxième outil pour la construction:

on considère une application que je note $\mathbb {Z} -> \mathfrak {A}:\mathfrak {K}(n)$

Soit on pose $\mathfrak {A}$ désigne l'ensemble de tous les arrangements finis de nombres complexes quelconques

par exemple $(z_1,z_2,...,z_m)\in \mathfrak {A}$ avec $m\in \mathbb {N}^*$ et $z_u \in \mathbb {C}$

cette application est telle que $\forall n \in \mathbb {Z}$ alors

$\mathfrak {K}(n) = (z_1,z_2,...,z_m)$ avec $m =| n | + 1$

et telle que $z_1+z_2+...+z_m\ =\ 1$

et telle que aussi $\forall u \in \mathbb {N}^*$ dans l'intervalle $[ 1 , m [$ alors $z_u \neq z_{u+1}$

et enfin telle que selon $z_u=||z_u||.e^{i.\theta _u}$ alors

pour $n=0$ on obtiens $||z_u||=1$ et pour $n \neq 0$ alors on obtiens $||z_u||=\frac{1}{|n|}$

on propose une solution des arguments on pose

$\theta _u$ dans l'intervalle $]-\pi , \pi]$

pour cette application et selon les conditions que j'ai donné précédemment

1)pour $n=0$ (donc $m=1$ et $||z_1||=1$ ) on propose

$\theta _1=0$ c'est d'ailleurs la seule solution possible ici selon les conditions que j'ai donné précédemment

2)proposition de résolution de cette application

pour tout entier naturel non nul donc pour tout $n \in \mathbb {N}^*$

on recherche la solution pour $n \in \mathbb {N}^*$ une solution notée selon :

$\mathfrak {K}( n ) = (z_1,z_2,...,z_m)$ donc m=n+1

on recherche donc une solution pour les arguments $\theta _u$

tout d'abord on propose que lorsque n est pair alors $\theta _u=0$ pour $u=\frac{n+2}{2}$

puis on considère h et k tels que:

-lorsque n est pair alors $h=\frac{n}{2}$ et $k=\frac{n+4}{2}$

-lorsque n est impair alors $h=\frac{n+1}{2}$ et $k=\frac{n+3}{2}$

résolution des arguments $\theta _1 , \theta _2 , ... , \theta _h$

-lorsque $n \leq 2$ on propose $\theta _1=\frac{\pi }{3}$ de sorte que :

$cos\ \theta _1=1/2$ et $sin \theta _1=\frac{\sqrt {3} }{2}$

-lorsque $n \geq 3$ on propose $\theta _1=0$ de sorte que : $cos \theta _1=1$ et $sin\ \theta _1=0$

-lorsque $n \leq 4$ on propose $\theta _2=\frac{\pi }{3}$ de sorte que : $cos \theta _2=1/2$ et $sin \theta _2=\frac{\sqrt {3}}{2}$

-lorsque $n \geq 5$ et n est impair et tel que $\frac{n-1 }{2}$ est pair alors on propose:

on considère u dans l'intervalle [2 , h]

-> pour u est pair on obtiens : $\theta _u=acos (\frac{2.n - 3 }{2.n - 2})$ de sorte que :

$cos \theta _u=\frac{2.n - 3 }{2.n - 2}$ et $sin \theta _u=\sqrt {1 - (\frac{2.n - 3 }{2.n - 2})^2}$

-> pour u est impair on obtiens : $\theta _u=acos (\frac{2.n - 5 }{2.n - 2})$ de sorte que :

$cos \theta _u=\frac{2.n - 5 }{2.n - 2}$ et $sin \theta _u=\sqrt {1 - (\frac{2.n - 5 }{2.n - 2})^2}$

-lorsque $n \geq 5$ et n est impair et tel que $\frac{n-1 }{2}$ est impair alors on propose:

$\theta _2=acos (\frac{4.n - 9 }{4.n - 4})$ de sorte que :

$cos \theta _2=\frac{4.n - 9 }{4.n - 4}$ et $sin \theta _2=\sqrt {1 - (\frac{4.n - 9 }{4.n - 4})^2}$

$\theta _3=acos (\frac{2.n - 3 }{2.n - 2})$ de sorte que :

$cos \theta _3=\frac{2.n - 3 }{2.n - 2}$ et $sin \theta _3=\sqrt {1 - (\frac{2.n - 3 }{2.n - 2})^2}$

$\theta _4=acos (\frac{4.n - 9 }{4.n - 4})$ de sorte que :

$cos \theta _4=\frac{4.n - 9 }{4.n - 4}$ et $sin \theta _4=\sqrt {1 - (\frac{4.n - 9 }{4.n - 4})^2}$

on considère u dans l'intervalle [5 , h]

-> pour $u \geq 5$ et u est impair on obtiens :

$\theta _u=acos (\frac{2.n - 3 }{2.n - 2})$ de sorte que :

$cos \theta _u=\frac{2.n - 3 }{2.n - 2}$ et $sin \theta _u=\sqrt {1 - (\frac{2.n - 3 }{2.n - 2})^2}$

-> pour $u \geq 6$ et u est pair on obtiens :

$\theta _u=acos (\frac{2.n - 5 }{2.n - 2})$ de sorte que :

$cos \theta _u=\frac{2.n - 5 }{2.n - 2}$ et $sin \theta _u=\sqrt {1 - (\frac{2.n - 5 }{2.n - 2})^2}$

-lorsque $n \geq 6$ et n est pair et tel que

$\frac{n-2 }{2}$ est pair alors on propose:

on considère u dans l'intervalle [2 , h]

-> pour u est pair on obtiens : $\theta _u=acos (\frac{2.n - 5 }{2.n - 4})$ de sorte que:

$cos \theta _u=\frac{2.n - 5 }{2.n - 4}$ et $sin \theta _u=\sqrt {1 - (\frac{2.n - 5 }{2.n - 4})^2}$

-> pour u est impair on obtiens : $\theta _u=acos (\frac{2.n - 7 }{2.n - 4})$ de sorte que :

$cos \theta _u=\frac{2.n - 7 }{2.n - 4}$ et $sin \theta _u=\sqrt {1 - (\frac{2.n - 7 }{2.n - 4})^2}$

-lorsque $n \geq 6$ et n est pair et tel que

$\frac{n-2 }{2}$ est impair alors on propose:

$\theta _2=acos (\frac{4.n - 13 }{4.n - 8})$ de sorte que :

$cos\ \theta _2=\frac{4.n - 13 }{4.n - 8}$ et $sin \theta _2=\sqrt {1 - (\frac{4.n - 13 }{4.n - 8})^2}$

$\theta _3=acos (\frac{2.n -5 }{2.n - 4})$ de sorte que :

$cos\ \theta _3=\frac{2.n - 5 }{2.n - 4}$ et $sin \theta _3=\sqrt {1 - (\frac{2.n - 5 }{2.n - 4})^2}$
$\theta _4=acos (\frac{4.n - 13 }{4.n - 8})$ de sorte que :

$cos\ \theta _4=\frac{4.n - 13 }{4.n - 8}$ et $sin \theta _4=\sqrt {1 - (\frac{4.n - 13 }{4.n - 8})^2}$

on considère u dans l'intervalle [5 , h]

-> pour $u \geq 5$ et u est impair on obtiens :

$\theta _u=acos (\frac{2.n - 5 }{2.n - 4})$ de sorte que :

$cos\ \theta _u=\frac{2.n - 5 }{2.n - 4}$ et $sin \theta _u=\sqrt {1 - (\frac{2.n - 5 }{2.n - 4})^2}$

-> pour $u \geq 6$ et u est pair on obtiens :

$\theta _u=acos (\frac{2.n - 7 }{2.n - 4})$ de sorte que :

$cos \theta _u=\frac{2.n - 7 }{2.n - 4}$ et $sin \theta _u=\sqrt {1 - (\frac{2.n - 7 }{2.n - 4})^2}$

résolution des arguments $\theta _k , \theta _{k+1} , ... , \theta _m$

ayant déterminé tous les arguments $\theta _1 , \theta _2 , ... , \theta _h$

on recherche alors les arguments $\theta _k , \theta _{k+1} , ... , \theta _m$

selon $q \in \{k , k+1 , ... , m \}$ on determine $p \in \{1 , 2 , ... , h \}$ par la relation $p = 2 + n - q$

on obtiens $\theta _q = -\theta _p$ de sorte que :

$cos \theta _q = cos \theta _p$ et $sin \theta _q = -sin \theta _p$

3)proposition de résolution de cette application

pour tout entier relatif strictement négatif donc pour tout $n \in \mathbb {Z}_-^*$

on doit d'abord disposer d'une solution de cette application avec |n| celle est donnée en 2)

par conséquent on admet que l'on dispose déjà de la solution notée selon :

$\mathfrak {K}( |n| ) = (z_1',z_2',...,z_m')$ donc avec m'=|n|+1

on dispose donc des arguments $\theta _u'$ et on recherche la solution pour $n \in \mathbb {Z}_-^*$ une solution notée selon :

$\mathfrak {K}( n ) = (z_1,z_2,...,z_m)$ donc m=m'=|n|+1

on recherche donc une solution pour les arguments $\theta _u$

on propose une solution donnée par l'égalité : $\theta _p=\theta _q'$ avec q = 2 + |n| - p

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III réalisation d'une "courbe" à partir d'un entier relatif

à partir d'un entier relatif quelconque $u \in \mathbb {Z}$

on construit une suite finie de segments de droites (D1,D2,...,Dm) telle que la jonction de celles-ci par leur points communs forme une "courbe" dans l'espace affine euclidien $\mathbb {R}^2$

On a précédemment déterminé une suite finie de nombres complexes $\mathfrak {K}( u ) = (z_1,z_2,...,z_m)$ avec $z_i \in \mathbb {C}$

on considère la suite finie d'entiers naturels non nuls $\mathfrak {I}( u ) = (n_1,n_2,...,n_m)$ avec $n_i \in \mathbb {N}^*$ désigne le module du nombre complexe $z_i$

on considère la suite finie de réels $\mathfrak {J}( u ) = (\theta _1,\theta _2,...,\theta _m)$ avec $\theta _i \in \mathbb {R}$ selon $\theta _i \in ]-\pi,\pi]$ désigne l'argument du nombre complexe $z_i$

on va utiliser cette suite finie de nombres complexes $\mathfrak {K}( u )$ pour construire une "courbe" dans l'espace affine $\mathbb {R}^2$

cette "courbe" est en fait constituée de m segments de droites

On considère la suite finie de m couples de points $\mathfrak {H}( u ) = ((p_1,q_1),(p_2,q_2),...,(p_m,q_m))$

le k ième segment de droite qui forme cette "courbe" est constitué par le couple de points $(p_k,q_k)$

on pose $p_1=(0,0)$ sinon on pose $p_i=q_{i-1}$

et on pose $q_i=p_i+\vec {V_i}$

$\vec {V_i}=(n_i.cos(\theta _i),n_i.sin(\theta _i))$

on verifie $q_m=(1,0)$

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IV réalisation de la "courbe fractale" à partir d'une suite infinie d'entiers relatifs

Sommaire

1.l'ensemble $E=\{t_0,t_1,...\}$
2.la relation d'ordre totale x►y
3.l'espace topologique (E, T)
4.l'application $\ _{t}n=(l_1,l_2,...)$
5.la suite $(t_n)$

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1.l'ensemble $E=\{t_0,t_1,...\}$ [/b]

à présent on dispose d'une suite infinie d'entiers relatifs tous non nuls $u_1,u_2,...$ avec $u_j \in \mathbb {Z}^*$

On obtiens une suite de $m_j$ couples de points $(p_{1j},q_{1j}),(p_{2j},q_{2j}),...,(p_{m_jj},q_{m_jj})$

mais aussi une suite de $m_j$ entiers naturels non nuls $\mathfrak {I}( u_j ) = (n_{1j},n_{2j},...,n_{m_jj})$

de même aussi une suite de $m_j$ de réels $\mathfrak {J}( u_j ) = (\theta _{1j},\theta _{2j},...,\theta _{m_jj})$

On considère l'ensemble non dénombrable (voir la démonstration plus loin) $E=\{t_0,t_1,...\}$

des points $t_i$ et qui constituent cette "courbe fractale"

on vérifie $Card (E)=\aleph _1=2^{\aleph _0}$

Soit la famille $(t_i)_{i\in \mathbb {N}}$ d'éléments $t_i$ de l'ensemble E

c'est à dire une application qui à tout élément $i$ de $\mathbb {N}$ fait correspondre un seul et unique élément de $E$

On définie la suite $(t_n)$ qui donne l'ensemble des points de la "courbe fractale"

ici les points sont écris sous une forme matricielle

on pose $t_0=\begin {pmatrix}0 \\ 0\end {pmatrix}$ et $t_1=\begin {pmatrix}1 \\ 0\end {pmatrix}$

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2.la relation d'ordre totale x►y

On propose de munir l'ensemble $E$ d'une relation d'ordre totale notée ►

ainsi donc telle que:

$\forall x \in E$ alors $x$ ► $x$

$\forall x \in E$ et $\forall y \in E$ on a l'équivalence logique:

$(x$ ► $y$ AND $y$ ► $x)<=>(x=y)$

$\forall x \in E$ et $\forall y \in E$ on a l'équivalence logique:

$(x$ ► $y$ XOR $y$ ► $x)<=>(x\neq y)$

$\forall x \in E$ et $\forall y \in E$ et $\forall z \in E$ on a l'implication logique:

$(x$ ► $y$   AND $y$ ► $z) => (x$ ► $z)$

Cette relation d'ordre totale est telle que $\forall x\in E$ on verifie $t_0$ ► $x$ et $x$ ► $t_1$

entre parenthèses ici les connecteurs logiques

P AND Q est une proposition vraie si et seulement si à la fois P et Q sont vrais

P OR Q est une proposition vraie si et seulement si l'une des deux propositions P ou Q est vraie tandis que l'autre est fausse

P <=> Q est une proposition vraie si et seulement si P OR Q est fausse

P => Q est une proposition toujours vraie sauf si P est vraie tandis que Q est fausse

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3.l'espace topologique (E, T)

On definit un espace topologique (E, T) où T est une topologie sur E selon:

Soient trois points distincts $t_a$ , $t_b$ , $t_c$ tels que   $t_a$ ► $t_b$

et soient V et W deux ouverts de (E, T) tels que:

$t_a\in V$ , $t_b\notin V$ , $t_a\notin W$ , $t_b\in W$ alors on vérifie l'équivalence logique

$(t_c\in V$ AND $t_c\in W) <=> (t_a$ ► $t_c$ AND $t_c$ ► $t_b)$

on considère notations d'intervalles :

Soit a et b dans E

première notation

[a,b] désigne un fermé de (E, T) et on vérifie les sept points suivants

1: a $\neq$ b

2: a et b appartiennent à ce fermé

3: on vérifie a►b

4: quelque soit x appartiens à ce fermé on vérifie:  a►x et x►b

5: il n'existe pas x dans  [a,b] tel que  x $\neq$ a et tel que x►a

6: il n'existe pas x dans  [a,b] tel que  x $\neq$ b et tel que b►x

7: l'adhérence de [a,b] c'est lui même

deuxième notation

[a,b[ désigne un ouvert de (E, T) on vérifie les huit points suivants

1: a $\neq$ b

2: a appartiens à cet ouvert tandis que b n'appartiens pas à cet ouvert

3: on vérifie a►b

4: [a,b[ $\subset$ [a,b]  le complémentaire de la partie [a,b[ dans le fermé [a,b] est le singleton $\{$ b $\}$

5: quelque soit x appartiens à [a,b[ on vérifie:  a►x et x►b

6: il n'existe pas x dans  [a,b[ tel que  x $\neq$ a et tel que x►a

7: quelque soit u dans [a,b[ alors: il existe x dans [a,b[ tel que u►x

8: l'adhérence de [a,b[ est le fermé [a,b]

troisième notation

]a,b]  désigne un ouvert de (E, T) on vérifie les huit points suivants

1: a $\neq$ b

2: a n'appartiens pas à cet ouvert tandis que b appartiens à cet ouvert

3: on vérifie a►b

4: ]a,b] $\subset$ [a,b]  le complémentaire de la partie ]a,b] dans le fermé [a,b] est le singleton $\{$ a $\}$

5: quelque soit x appartiens à ]a,b] on vérifie:  a►x et x►b

6: il n'existe pas x dans  ]a,b] tel que  x $\neq$ b et tel que b►x

7: quelque soit u dans ]a,b] alors: il existe x dans ]a,b] tel que x►u

8: l'adhérence de ]a,b] est le fermé [a,b]

quatrième notation

]a,b[ désigne un ouvert de (E, T) et on vérifie les huit points suivants

1: a $\neq$ b

2: a et b n'appartiennent pas à cet ouvert

3: on vérifie a►b

4: ]a,b[ $\subset$ [a,b]  le complémentaire de la partie ]a,b[ dans le fermé [a,b] est l'ensemble $\{$ a,b $\}$

5: quelque soit x appartiens à ]a,b[ on vérifie:  a►x et x►b

6: quelque soit u dans ]a,b[ alors: il existe x dans ]a,b[ tel que x►u

7: quelque soit u dans ]a,b[ alors: il existe x dans ]a,b[ tel que u►x

8: l'adhérence de ]a,b[ est le fermé [a,b]

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4.l'application $\ _{t}n=(l_1,l_2,...)$

On considère l'ensemble H des suites infinie d'entiers naturels $(l_n)=(l_0,l_1,...)$

$H=\{ (\ _{1}l_0,\ _{1}l_1,...),(\ _{2}l_0,\ _{2}l_1,...),...\}$

pour convention d'écriture:

on admettra que si

$\forall i \in \mathbb {N}$ on verifie $l_i=0$ alors on posera $(l_n)=(0)$

et on admettra que si

$\exists n\in \mathbb {N}$ tel que $l_n\neq 0$ et que pour $\forall i \in \mathbb {N}^*$   on verifie $l_{n+i}=0$

alors on posera $(l_n)=(l_0,l_1,...,l_n)$

construction de l'application:

on propose la convention de notation: pour $x\in \mathbb {R}_+$ alors $\begin {bmatrix}x\end {bmatrix}$ désigne la partie entière de $x$

on pose   $\ _{t}0=(0)$   et $\ _{t}1=(m_1)$

pour $2\leq n \leq  m_1$ on pose $\ _{t}n=(n-1)$

on recherche $u$ tel que:

$p=m_1+(m_2-1).m_1+(m_3-1).m_1.m_2+...+(m_{u-1}-1).m_1.m_2.....m_{u-2}<n$

$m_1+(m_2-1).m_1+(m_3-1).m_1.m_2+...+(m_u-1).m_1.m_2.....m_{u-1}\geq n$

lorsque $n=p$ on pose   $\ _{t}n=(m_1-1,m_2-1,...,m_u-1)$

sinon on pose $p_1=n-p$ et   $q_1=\frac {p_1}{f(u)}$

lorsque $f(u)-p_1.\begin {bmatrix}\frac {f(u)}{p_1}  \end {bmatrix}=0$ alors $l_1=[q_1]-1$

lorsque $f(u)-p_1.\begin {bmatrix}\frac {f(u)}{p_1}  \end {bmatrix}>0$ alors $l_1=[q_1]$

$p_2=p_1-l_1.f(u)$ et   $q_2=\frac {p_2}{f(u-1)}$

lorsque $f(u-1)-p_2.\begin {bmatrix}\frac {f(u-1)}{p_2}  \end {bmatrix}=0$ alors $l_2=[q_2]-1$

lorsque $f(u-1)-p_2.\begin {bmatrix}\frac {f(u-1)}{p_2}  \end {bmatrix}>0$ alors $l_2=[q_2]$

...

$p_i=p_{i-1}-l_{i-1}.f(u-i+2)$ et   $q_i=\frac {p_i}{f(u-i+1)}$

lorsque $f(u-i+1)-p_i.\begin {bmatrix}\frac {f(u-i+1)}{p_i}  \end {bmatrix}=0$ alors $l_i=[q_i]-1$

lorsque $f(u-i+1)-p_i.\begin {bmatrix}\frac {f(u-i+1)}{p_i}  \end {bmatrix}>0$ alors $l_i=[q_i]$

...

$p_u=l_u=p_{u-1}-l_{u-1}.f(2)$

avec la fonction

on pose $f(2)=m_u-1$ et pour $i\geq 3$ alors $f(i)=f(i-1).m_{u-i+2}$

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5.la suite $(t_n)$

il s'agit ici de définir les points $t_i$ qui constituent cette "courbe fractale"

la topologie de cette "courbe" est définie par la relation d'ordre totale notée $t_i$ ► $t_j$ qui structure l'ensemble $E=\{t_0,t_1,...\}$ alors:

$\forall i\in \mathbb {N}$ et $\forall j\in \mathbb {N}$

1.-lorsque $i=j$ on vérifie $t_i=t_j$ et $t_i$ ► $t_j$

2.-lorsque $i\neq j$ on considère $\ _{t}i=(l_{1i},l_{2i},...)$ et $\ _{t}j=(l_{1j},l_{2j},...)$

2.1-lorsque $l_{1i}<l_{1j}$ on vérifie $t_i$ ► $t_j$

2.2-lorsque $l_{1i}>l_{1j}$ on vérifie $t_j$ ► $t_i$

2.3-lorsque $l_{1i}=l_{1j}$ alors $\exists d \in \mathbb {N}^*$ tel que $l_{di}\neq l_{dj}$

et tel que aussi $\forall k\in \mathbb {N}^*$ et $1\leq k < d$ on vérifie $l_{ki}=l_{kj}$

2.3.1-lorsque $l_{di}<l_{dj}$ on vérifie $t_i$ ► $t_j$

2.3.2-lorsque $l_{di}>l_{dj}$ on vérifie $t_j$ ► $t_i$

__________________________________

à présent il ne reste plus qu'à définir la suite $(t_n)$

comme on l'a dit précédemment les points sont écris sous une forme matricielle

on pose $t_0=\begin {pmatrix}0 \\ 0\end {pmatrix}$ et $t_1=\begin {pmatrix}1 \\ 0\end {pmatrix}$

par ailleurs et comme on l'a dit précédemment aussi,

à partir d'une suite infinie d'entiers relatifs tous non nuls $u_1,u_2,...$ avec $u_j \in \mathbb {Z}^*$

On a construit une suite de $m_j$ couples de points $(p_{1j},q_{1j}),(p_{2j},q_{2j}),...,(p_{m_jj},q_{m_jj})$

on transforme cette suite par la suite de points $r_{1j},r_{2j},...,r_{m_jj}$

en posant $r_{1j}=p_{1j}$ et pour $2\leq i \leq m_j+1$ on pose $r_{ij}=q_{i-1,j}$

par ailleurs on pose $d_j=m_j+1$

__________________________________

construction de la "courbe fractale" à partir d'une infinité de points $r_{ij}$ avec $1\leq i \leq d_j$

par ailleurs on dispose d'une suite de $m_j$ entiers naturels non nuls $\mathfrak {I}( u_j ) = (n_{1j},n_{2j},...,n_{m_jj})$ on vérifie $n_{ij}=||\vec {r_{i,j}r_{i+1,j}}||$

à présent que les points $t_0$ et $t_1$ ayants déjà étés déterminés

on incrémente $n$ à partir de $n=2$

pour $2\leq n \leq  m_1$ on obtiens $t_n=r_{n1}$

pour $n \geq m_1+1$ on détermine $\ _{t}n=(l_1,l_2,...,l_d)$ on vérifie $d \geq 2$

_________________________________

triangle d'échelle

à tout point $t_n$ on fait correspondre un triplet de points X,Y,Z formants toujours un triangle

on pose $\ _{t}nX=(l_{1X},l_{2X},...,l_{d-1,X})=(l_1,l_2,...,l_{d-1})$ et correspond au point X

-lorsque $\forall i\in \mathbb {N}$ tel que $1\leq i\leq d-1$ on a $l_i= m_i-1$ alors on pose $Y=\begin {pmatrix}1 \\ 0\end {pmatrix}$

-lorsque $l_1=l_2=...=l_{d-1}=0$ alors on pose $Z=\begin {pmatrix}0 \\ 1\end {pmatrix}$

-lorsque $0<l_{d-1}<m_{d-1}$ on pose:

$\ _{t}nY=(l_{1Y},l_{2Y},...,l_{d-1,Y})=(l_1,l_2,...,l_{d-1}+1)$ et correspond au point Y

$\ _{t}nZ=(l_{1Z},l_{2Z},...,l_{d-1,Z})=(l_1,l_2,...,l_{d-1}-1)$ et correspond au point Z

dans tous les autres cas pour le point Y on recherche u tel que $l_u<m_{u}-1$ et tel que

$\forall i$ avec $u<i\leq d-1$ on vérifie $l_i=m_i-1$ on pose $\ _{t}nY=(l_1,l_2,...,l_u+1)$ et correspond au point Y

dans tous les autres cas pour le point Z on recherche u tel que $l_u>0$ et tel que

$\forall i$ avec $u<i\leq d-1$ on vérifie $l_i=0$ on pose $\ _{t}nZ=(l_1,l_2,...,l_u-1,m_{u+1}-1,m_{u+2}-1,...,m_{d-1}-1)$ et correspond au point Z

_________________________________

matrice d'échelle

on construit la matrice   $B= \begin {bmatrix} v_{11}  &  v_{12}  \\ v_{21} &  v_{22}   \end {bmatrix}$

où l'on considère les deux vecteurs formants cette matrice

$\vec {V_{i1}}= \begin {bmatrix} v_{11}\\ v_{21}\end {bmatrix}$ et $\vec {V_{i2}}= \begin {bmatrix} v_{12}\\ v_{22}\end {bmatrix}$

pour cette construction on dispose du triangle d'échelle formé par les trois points X,Y,Z

on pose $\vec {V_{i1}}= \vec {XY}= \begin {bmatrix} v_{11}\\ v_{21}\end {bmatrix}$

par ailleurs posons $\vec {W}= \vec {XZ}= \begin {bmatrix} w_1\\ w_2\end {bmatrix}$

on vérifie toujours $v_{11}.w_2-v_{21}.w_1 \neq 0$

ici on va utiliser le premier outil que l'on a présenté : la loi de composition notée *

-lorsque $v_{11}.w_2-v_{21}.w_1 >  0$ on pose $\vec {V_{i2}}=  ||\vec {XY}||.(\vec {XY}*\vec {XZ})$

-lorsque $v_{11}.w_2-v_{21}.w_1 <  0$ on pose $\vec {V_{i2}}=  ||\vec {XY}||.(\vec {XY}*\vec {ZX})$

___________________________________

la matrice B est toujours inversible on note ${X,B}$   est un repère de l'espace affine euclidien $\mathbb {R}^2$

la position du point $t_n$ par rapport au repère ${X,B}$ est donnée par la position du point $r_{l_d+1,d}=\begin {bmatrix} a\\ b\end {bmatrix}$

$t_n= a.\vec {V_{i1}}+b.\vec {V_{i2}}+X$

________________________________________________________________________

démonstration de $Card (E)=\aleph _1=2^{\aleph _0}$ :

L'ensemble E est constitué des points $t_i$ et ce sont ces points qui definissent la "courbe fractale"

ces points sont déterminés par une suite infinie d'entiers relatifs tous non nuls $u_1,u_2,...$

considérant l'ensemble dénombrable $U=\{u_1,u_2,...\}$ on vérifie $Card (U)=\aleph _0$

par cette suite infinie d'entiers relatifs tous non nuls on obtiens $(m_j)$ une suite d'entiers naturels supérieurs ou égal à 2 donc $m_j\geq 2$

la suite   $(t_n)$ telle qu'elle est construite est telle que l'on peut définir une application

qui pour toute quantité $m_j$ fait correspondre une partie A de E et telle que l'ensemble de toutes ces parties forment une partition de E

pour $j=1$ on obtiens   $Card (A)=m_1$

pour $j=2$ on obtiens   $Card (A)=m_1+(m_2-1).m_1$

pour $j=3$ on obtiens   $Card (A)=m_1+(m_2-1).m_1+(m_3-1).m_2.m_1$

...

pour $j=\aleph _0$ on obtiens   $Card (A)=m_1+(m_2-1).m_1+(m_3-1).m_2.m_1+...+(m_{\aleph _0}-1).m_{\aleph _0}....m_1$

on obtiens par conséquent

$Card (E)= m_{\aleph _0}....m_1= m^{\aleph _0} = 2^{\aleph _0}=\aleph _1$ avec $m\in \mathbb {N}-\{0,1\}$

Posté par re : Ensemble non dénombrable de "courbes fractales" 05-12-14 à 07:56

une faute d'inattention relevée (je n'en vois pas d'autres...)

je voulais dire:

P XOR Q est une proposition vraie si et seulement si l'une des deux propositions P ou Q est vraie tandis que l'autre est fausse

Posté par re : Ensemble non dénombrable de "courbes fractales" 05-12-14 à 14:36

Heureusement qu'il est précisé que le post n'est pas infini, ça aurait du mal à tenir...

Posté par re : Ensemble non dénombrable de "courbes fractales" 05-12-14 à 16:52

Bonjour

>Weierstrass
Et toujours en 3 ème

Posté par re : Ensemble non dénombrable de "courbes fractales" 05-12-14 à 16:58

peut être troisième cycle universitaire

Posté par re : Ensemble non dénombrable de "courbes fractales" 12-12-14 à 11:11

bonjour

Je relève ici plusieurs fautes (désolé) et ici donnés en corrigés

faute n°2 (pour la faute N°1 voir le corrigé du post précédent)
là j'avais dit entiers naturels au lieu de dire rationnels positifs et non nuls

Citation :
...on considère la suite finie de rationnels positifs et non nuls $\mathfrak {I}( u ) = (n_1,n_2,...,n_m)$ avec $n_i \in \mathbb {Q}^*_+$ désigne les modules des nombres complexes $z_i$

faute n°3
là aussi j'avais dit entiers naturels au lieu de dire rationnels positifs et non nuls

Citation :
...mais aussi une suite de $m_j$ rationnels positifs et non nuls $\mathfrak {I}( u_j ) = (n_{1j},n_{2j},...,n_{m_jj})$

faute n°4
là j'avais dit l'équivalence logique au lieu de dire implication logique

Citation :
... alors on vérifie l'implication logique

$(t_c\in V$ AND $t_c\in W) => (t_a$ ► $t_c$ AND $t_c$ ► $t_b)$

bon là franchement j'en vois plus...

Posté par re : Ensemble non dénombrable de "courbes fractales" 13-12-14 à 00:23

Bonsoir amethyste.

Je n'ai pas lu tout ton message

Mais je ne vois pas vraiment l'intérêt de montrer qu'il y a un nombre non dénombrable de courbes fractales dans $\R^2$ .

A priori on peut estimer leur nombre à $2^{\aleph_1}$ .

Posté par re : Ensemble non dénombrable de "courbes fractales" 13-12-14 à 00:53

Bonsoir Verdurin

...et exact! Verdurin ce que tu dit vu comme ça ->

mais là je parle de celles que je construis ici et dont je vous file le "kit montage comme pour un meuble Ikea"

(pas de courbes fractales en général)

je suis pas obligé de me croire sur parole pour celles que je construit là (je parle pas des autres mais de celles là )

sinon à Dpi -mais en restant sur ce fil- bon eh bien j'aime les maths et je poste ce que je fais ... mais pourquoi?

pourquoi faut-il qu'il y ait toujours et obligatoirement un intérêt pour faire des maths?

je suis pas marié mais si je serai marié je dirais pas : pourquoi j'aime ma femme?

je peux pas dire eh bien en fait c'est pour elle!

beh là c'est pareil je peux pas dire que c'est pour les maths...elles se foutront de moi là et elles auront raison!

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