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Histoire de cubes
Bonsoir, excusez moi de vous deranger mais j'aurai besoin d'aide pour mon devoir de maths s'il vous plait
Pour ce devoir j'ai deja repondu pour la 2eme question mais le probleme c'est que pour la premiere je suis complètement bloquer, pouvez vous m'expliquez s'il vous plaît ?
Question : j'ai un empilement a 5 niveaux d'un cube
Et nous cherchons combien il y aurait besoin de cubes a 100 niveaux ?
Je pensait utiliser 1-q puissance de n-1 / 1-q
Est ce que c'est bon ?
Voici la photo :
* Tom_Pascal > niveau modifié *
Bonjour, Il nous faut une précision :
On te répond niveau 4ème ou niveau 1ère qui sait que
1 + 2 + 3 + ...... + n = ?????
Bonjour,
utiliser une formule sans savoir si elle s'applique ???
c'est quoi ta formule, la somme des termes d'une suite géométrique ?
tu penses que le problème met en oeuvre des suites géométriques ?
la première chose à faire est d'étudier ça ...
(et la réponse est non, il n'y a pas de suites géométriques là dedans)
une "arête" est la somme de 1 + 2 + 3 + 4 cubes
moi je vois là dedans la somme des termes d'une suite arithmétique.
il y a 4 arêtes comme ça plus un "pilier" central de 5 cubes
de façon générale
il y a 4 fois une somme de 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) cubes, plus le "pilier" de n cubes
PS : vu la citation d'une formule de cours on va dire qu'il y a eu un "cours" là dessus, même si pas bien compris.
Bonjour
Sachant que le triangle d'un nombre n noté T(n) est la somme de tous les entiers de 1 à n
exemple: T(7) 1+2+3+4+5+6+7 = 28
avec x niveaux de cube, la formule donnant le nombre de cubes y est:
Donc pour x = 100, y = 4*T(99)+x
Et plein de sites nous permettent de trouver le triangle d'un nombre, T(99) = 4950
Donc x = 4*4950 + 100 = 19900, il y'aura 19 900 cubes pour 100 niveaux
On peut en effet envisager une suite (Un) définie par Un = le nombre de cubes à l'étage n en commençant par le haut
U1 = 1
Pour trouver U2 on ajoute 4 cubes à la situation précédente ... U2 = 5
Pour trouver U3 on ajoute 4 cubes à la situation précédente ... U3 = 9
etc ....
Pour passer d'un étage au suivant on ajoute 4 cubes à la situation précédente ... donc la suite (Un) est une suite ...... de raison ......
Et le nombre de cubes nécessaires à la construction est donné par
N = U1 + U2 + ........ + Un = somme des .... premiers termes d'une suite ..... = ????
A toi de remplacer les ..... et ????
Bonjour,
Voyant la figure, j'ai voulu savoir..
Je trouve 19801 au niveau 100 chiffre
auquel il faut rajouter la pile de milieu +99
Donc je retrouve le 19900 de Zorrmuche.
il serait intéressant de savoir ce qu'en pense Zaphira plutôt que de lui donner entièrement la solution ...
(et bien entendu on peut calculer ça de différentes manières)
Bonsoir, merci à tous pour votre aide mais j'aurai préférer qu'on m'explique plutôt qu'on me donne les réponses.
Je voudrais répondre en particulier à jeveutbientaider
Pour trouver U2 on fait 1+4 = 5 formule U1+Un =U2
Pour trouver U3 on fait 5+4 = 9. Formule U2+Un = U3
Donc la suite (Un) est suite arithmétique de raison 4 et le nombre de cubes nécessaires à la construction est donner par
N = U1 + U2 + U3 +..........+ Un = somme 100 premiers termes d'une suite arithmétique = nombre de cubes au bout de 100 niveaux
Est ce que c'est bon ?
c'est ce que tu écris qu'on ne comprend pas :
U1+Un =U2
ça ne veut rien dire du tout
c'est U1 +
puis U2 +
4 est la raison de la suite arithmétique
on peut compter par couche (ton calcul et celui de jeveuxbientaider)
avec les Un le nombre de cubes d'une couche
ou on peut compter les cubes de chaque "lame d'arête", il y 4 lames d'arètes, et ajouter le pilier central (Zormuche ou moi)
Bonjour,
J'ai comprit ce que tu me dit mais la formule de Zormuche je ne la comprend pas du tout :
Y = 4*T(x-1)+x Peut tu me l'expliquer s'il te plaît ?
Rang 1 (au dessus) : 1 cube
Rang 2 : 1 + 4 = 5 cubes.
Rang 3 : 5 + 4 = 9 cubes.
Avec U le nombre de cube par rang on a :
U(1) = 1
U(n+1) = U(n) + 4
U est donc une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme 1
U(100) = 1 + 99*4 = 397
La somme des n premiers termes de cette suite est : S = n * (U(1) + U(n))/2
Avec n = 100 :
S = 100 * (1 + 397)/2 = 19900
Il faut 19900 cubes.
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Sauf distraction. 
pour la méthode de Zormuche et la mienne je les ai comptés comme ça :
on sépare les 4 "arêtes" de 1+2+3+4 cubes chacune
et le "pilier" central
ce qui fait 4
(1+2+3+4) + 5
et de façon générale
4(1+2+3+4+...+(n-1)) + n
et 1+2+3+...+(n-1) est ce qu'on appelle un "nombre triangulaire" (arrangement de cubes en triangle) T(n-1)
le "n-1 ème" nombre triangulaire
un tel nombre T(n) est la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 1 (les nombres entiers successifs) qu'il est "de bon ton" de connaitre en elle-même, puisque T(n) c'est la somme des n premiers entiers.
et donc le nombre de cube de la pile = 4T(n-1) + n
(il appelle "x" le nombre de couches au lieu de "n", on peut l'appeler comme on veut)
mais la figure de l'énoncé suggère (par les couleurs) de compter les cubes par couches, c'est à dire en partant du haut :
1 + 5 + 9 + 13 + 17, la progression de raison 4 que ta soigneusement rédigée J-P ainsi que jeveuxbientaider
la méthode "de Zormuche" (qui était aussi la mienne dans mon premier message) est donc à laisser tomber dans cet exo
c'était juste pour expliquer.
et montrer qu'il y a plusieurs façons de compter ces cubes et d'obtenir le même résultat au final
4T(n-1) + n = 4n(n-1)/2 + n = 2n² - n
qui est le même résultat que tu trouves par la suite arithmétique de raison 4, si tu termines les calculs de jeveuxbientaider et J-P
bonjour/bonsoir, j'ai également eu cet exercice à traiter, et grâce aux différentes réponses j'ai pu comprendre l'exercice à une chose près.
Pourquoi la "la somme des n premiers termes de cette suite est : S = n * (U(1) + U(n))/2"
Merci à ceux qui ont donné une réponse ci-dessus et à ceux qui m'éclaireront !
Salut
C'est une formule à savoir par coeur
Mais on peut la trouver en réfléchissant un peu :
Imaginons une suite arithmétiques aléatoire, prenons : 2, 5, 8, 11, 14, 17... 50
Il y a 17 termes
Soit S la somme de tous ces termes. Si on voulait calculer la moyenne des termes de la suite, il faudrait faire S/17.
Donc si on veut calculer la somme S, il faut faire (moyenne * 17)
Or la moyenne de tout, c'est aussi la moyenne des deux termes aux extrémités (2 et 50)!!!
On fait donc la moyenne de 2 et 50, puis on la multiplie par 17
Ce qui donne : 17 * (2+50)/2
Tu peux aussi le voir de cette façon :
S = U1 + U2 + U3 + ... + Un
S = Un + Un-1 + Un-2 + ... + U1
En additionnant les deux lignes, ça donne :
2S = (U1+Un) + (U2+Un-1) + (U3+Un-2) + ... + (Un+U1)
2S = (U0+r+U0+rn) + (U0+2r+U0+r(n-1)) + (U0+3r+U0+r(n-2)) + ... + (U0+rn+U0+r)
le contenu de chaque parenthèse vaut (2U0+r(n+1)) = (U0+r+U0+rn) = (U1+Un)
2S = n * (U1+Un)
S = n * (U1+Un)/2
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