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Fonction génératrice et esperance

Posté par
lucasece 25-01-15 à 11:37

Bonjour à tous, j'ai un exercice assez original à traiter et je voulais avoir votre avis sur ma démarche.

X(\Omega)=\mathbb{N} \\ \forall n \in X(\Omega),  4P(X=n+2)=5P(X=n+1)-P(X=n)

Sans calculer la loi, calculer E(X) en vous aidant de la fonction génératrice G_X(t).
___________________________________________________________________________________

J'ai tout d'abord remarqué qu'il s'agissait d'une suite linéaire récurrente d'ordre 2.
J'ai alors résolu cette dernière, ce qui me donne \forall n \in X(\Omega),  P(X=n)=\alpha(\frac{1}{4})^n + \beta

J'ai ensuite utilisé cette expression pour calculer la fonction génératrice de X.
Ce qui me donne, G_X(t)=\frac{4\alpha}{4-t} + \frac{\beta}{1-t}

Je dérive alors G_X(t) et regarde alors la valeur de G'_X(1) pour trouver l'ésperance.

Je trouve donc G'_X(t)=\frac{4\alpha}{(4-t)^2} + \frac{\beta}{(1-t)^2}

D'où on tire, E(X)=\frac{4\alpha}{9}

Qu'en pensez vous ?
Merci.

Posté par
Robotre : Fonction génératrice et esperance 25-01-15 à 11:56

Il faudrait commencer par déterminer \alpha et \beta.

Posté par
carpediemre : Fonction génératrice et esperance 25-01-15 à 12:20

salut

déterminer P(X = n) c'est déterminer la loi de X


G(t) = \sum P(X = n)t^n = \dfrac 1 4 \sum [5P(X = n - 1) - P(X = n - 2)]t^n

donc E(X) = G'(t)_{t = 1} = \dfrac 1 4 \sum n[5P(X = n - 1) - P(X = n)]


il faudrait maintenant écrire cette somme plus en détail (en particulier avec l'indice initial) pour voir ensuite ce que ça donne ...


ce me semble-t-il ....

Posté par
lucasecere : Fonction génératrice et esperance 25-01-15 à 14:34

Le problème c'est que je ne connais aucune valeur pour X.
Je ne peut donc pas chercher \alpha ou \beta

De plus, en écrivant les bornes j'obtiens G'_X(t)_{t=1}= \frac{1}{4} (5\sum_{n=1}^{+\infty}nP(X=n-1)-\sum_{n=2}^{+\infty}nP(X=n-2))

Posté par
carpediemre : Fonction génératrice et esperance 25-01-15 à 15:34

par changement de variable ::

nP(X = n - 2) = (n + 1)P(X = n - 1)


donc un bon changement de variable fait presque surement apparaître une série télescopique ....

Posté par
Robotre : Fonction génératrice et esperance 25-01-15 à 15:46

La condition de récurrence donne immédiatement la relation
4 G_X(t)= 5 tG_X(t)-t^2 G_X(t) +at +b
d'où
G_X(t)= \dfrac{at+b}{t^2-5t+4} = \dfrac{\gamma}{t-1} +\dfrac{\delta}{t-4}\;.
Maintenant on sait que G_X(t) se prolonge par continuité en t=1 avec la valeur G_X(1)=1 (probabilité totale). Ca permet bien entendu de déterminer \gamma et \delta, et après c'est un jeu d'enfant de calculer G'_X(1).

Posté par
carpediemre : Fonction génératrice et esperance 25-01-15 à 15:54

ben oui ... encore plus simple !!!


merci ...


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