Salut mes profs, ABC est un triangle , A' , B' et C' sont respectivement les milieux de [BC] , [AC] et [AB]. On pose G comme etant le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que AB2 + AC2 = 9( GB2+ GC2 ) -4BC2. Je ne pouvais pas le prouver, et je espère votre aide , merci d'avance.
bonjour,
dans ce que je vais écrire ci-dessous, il s'agit de produits scalaires (donc de vecteurs):
AB2+AC2 = AB.AB + AC.AC = (AG+GB).(AG+GB) + (AG+GC).(AG+GC)
et comme GA+GB+GC = 0 (tout en vecteurs bien sûr) puisque G est le centre de gravité du triangle ABC, alors GB+GC = -GA = AG
donc: AB2+AC2 = (AG+GB).(AG+GB) + (AG+GC).(AG+GC) = (2GB+GC).(2GB+GC) + (2GC+GB).(2GC+GB) = 4GB2+GC2+4GB.GC + 4GC2+GB2+4GB.GC
= 5GB2+5GC2+4GB.(GB+BC)+4GC.(GC+CB) = 5GB2+5GC2 + 4GB2+4GB.BC + 4GC2+4GC.CB = 9GB2+9GC2 + 4GB.BC - 4GC.BC = 9(GB2+GC2) - 4BC.(GC-GB) = 9(GB2+GC2) - 4BC.(GC+BG) = 9(GB2+GC2) - 4BC2
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