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un ensemble d'applications

Posté par amethyste 14-02-15 à 22:36

un ensemble d'applications

salut (ce fil est terminé)

on se donne $p_1,p_2,q_1,q_2,q^{\prime}_1,q^{\prime}_2$ dans   $\mathbb {R}$ et tels que $p_1<p_2$

alors on construit l'ensemble $\mathfrak {F}$ est un ensemble de cardinal $card (\mathfrak {F})=2^{\aleph _0}$

dont les éléments sont des applications $f:\mathbb {R}->\mathbb {R}$ de classe $C^{\infty}$

applications telles que d'une part on vérifie toujours   $f(p_1)=q_1$ , $f(p_2)=q_2$ ,   $f^{\prime}(p_1)=q^{\prime}_1$ ,   $f^{\prime}(p_2)=q^{\prime}_2$

et d'autre part en se donnant un ou plusieurs paramètres alors

lorsque ces paramètres tendent vers des valeurs que l'on doit définir , la longueur de l'arc de ces applications entre les points $(p_1,q_1)$ et $(p_2,q_2)$ tend vers la distance entre ces deux points

$un ensemble d\'applications$

construction de l'ensemble

cet ensemble $\mathfrak {F}=\{f:\mathbb{R}->\mathbb{R}$ | $u \in \{1,-1\}$ | $n \in \mathbb{Z}$ | $k \in \mathbb{N}^*pair$ | $l \in \mathbb{N}impair$ | $\lambda \in\mathbb{R}$ | $\lambda \in ]0;1[$ | $w.\sin(2.\pi.w)-v.\sin(2.\pi.v)\neq 0$ | $a \in \mathbb{R}$ | $(m,m_1,m_2) \in \mathbb{N}_*^3  \}$

lorsque $m$ et   $m_1$ tendent vers $\infty$ et que $a$ tend vers zero alors la longueur de l'arc de ces applications entre les points $(p_1,q_1)$ et $(p_2,q_2)$ tend vers la distance entre ces deux points

on pose les valeurs $p,q,r,v,w,w_0,w_1,w_2$ selon :

$p=p_2-p_1$

$q=q_2-q_1$

$r=q^{\prime}_2-q^{\prime}_1$

$w=\frac {\pi}{4.v}$

$w_0=\frac {2.\pi}{p}$

$w_1=\frac {k.\pi}{p}$

$w_2=\frac {\pi.m_2}{p}$

$v\in \{\frac {n+u.\sqrt {n^2+\pi}}{2},\frac {2+n^2+u.\sqrt {(n^2+2)^2-\pi}}{2}\}$

et on pose l'application $h(x)=2.\pi.p^{-1}(x-p_1)$

et enfin on pose six fonctions $f_1(x),f_2(x),...,f_6(x)$ avec leurs dérivées respectivement $f_1^{\prime}(x),f_2^{\prime}(x),...,f_6^{\prime}(x)$

$f_1(x) = \frac {1}{2}.cos(w_1.(x-p_1))+ \frac {1}{2}$

$f_1^{\prime}(x)=  \frac {-w_1}{2}.sin(w_1.(x-p_1))$

$f_2(x) = \frac {-\lambda}{2}.cos(w_0.(x-p_1)+\pi)- \frac {\lambda}{2}+1$

$f_2^{\prime}(x)=  \frac {\lambda.w_0}{2}.sin(w_0.(x-p_1)+\pi)$

$f_3(x) = q_1+q.sin(2^{-1}.\pi.p^{-1}.(x-p_1))+(2^{-1}.\pi^{-1}.q_1^{\prime}.p-4^{-1}.q).sin(2.\pi.p^{-1}.(x-p_1))$

$f_3^{\prime}(x)= 2^{-1}.\pi.p^{-1}.q.cos(2^{-1}.\pi.p^{-1}.(x-p_1))+(q_1^{\prime}-2^{-1}.\pi.p^{-1}.q).cos(2.\pi.p^{-1}.(x-p_1))$

$f_4(x) = 2^{-1}.\pi^{-1}.p.(2^{-1}.\pi.p^{-1}.q+r). \frac {cos(v.h(x))-cos(w.h(x))}{w.sin(2.\pi.w)-v.sin(2.\pi.w)}$

$f_4^{\prime}(x)= (2^{-1}.\pi.p^{-1}.q+r) .\frac {w.sin(w.h(x))-v.sin(v.h(x))}{w.sin(2.\pi.w)-v.sin(2.\pi.w)}$

$f_5(x) = \frac {1}{2^m}.(cos(w_0.(x-p_1))+1)^m$

$f_5^{\prime}(x)= \frac {-m.w_0}{2^m}.sin(w_0.(x-p_1)).(cos(w_0.(x-p_1))+1)^{m-1}$

$f_6(x) = \begin {pmatrix} 1-\frac {1}{2^{m_1}}.(cos(w_0.(x-p_1))+1)^{m_1} \end {pmatrix} .\begin {pmatrix} \frac {q}{p}.x-\frac {q.p_1}{p}+q_1+a.sin^l(w_2.(x-p_1))\end {pmatrix}$

$f_6^{\prime}(x)= \begin {pmatrix} 1-\frac {1}{2^{m_1}}.(cos(w_0.(x-p_1))+1)^{m_1} \end {pmatrix} .\begin {pmatrix} a.l.w_2.cos(w_2.(x-p_1)).sin^{l-1}(w_2.(x-p_1))+\frac {q}{p}\end {pmatrix} +...$
$...+\frac {m_1.w_0}{2^{m_1}}.sin(w_0.(x-p_1)).(cos(w_0.(x-p_1))+1)^{m_1-1}$

alors les applications que l'on recherche sont définies par

$f(x) = f_1(x).f_2(x).f_5(x).\begin {pmatrix} f_3(x)+f_4(x)-\frac {q}{p}.x+\frac {q.p_1}{p}-q_1\end {pmatrix} + f_5(x).\begin {pmatrix} \frac {q}{p}.x-\frac {q.p_1}{p}+q_1\end {pmatrix}  +f_6(x)$

$f^{\prime}(x)= f_1(x).f_2(x).f_5^{\prime}(x).\begin {pmatrix} f_3(x)+f_4(x)-\frac {q}{p}.x+\frac {q.p_1}{p}-q_1\end {pmatrix} + f_5^{\prime}(x).\begin {pmatrix} \frac {q}{p}.x-\frac {q.p_1}{p}+q_1\end {pmatrix} +...$
$...+f_5(x).(f_1(x).f_2^{\prime}(x)+f_1^{\prime}(x).f_2(x)).\begin {pmatrix} f_3(x)+f_4(x)-\frac {q}{p}.x+\frac {q.p_1}{p}-q_1\end {pmatrix}+...$
$...+ f_1(x).f_2(x).f_5(x). .\begin {pmatrix} f_3^{\prime}(x)+f_4^{\prime}(x)-\frac {q}{p} \end {pmatrix} +\frac {q}{p}.f_5(x) +f_6^{\prime}(x)$