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Produit scalaire

Posté par
welcome
19-02-15 à 19:56

Bonsoir j'ai un exo on je ne sais pas par ou commencer
ABC : triangle AB=4 , AC=7 et BC=9
I est le point tel que vecteur BI = 1/3 vecteur BC


1) Démontrer que l'on a l'égalité : 2AB²+AC²=3AI²+54

2) Déterminer AI
Que peut on dire du triangle  ABI ?

Je ne sais pas quoi faire pour le 1)

Merci de votre aide  

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 19-02-15 à 20:48

1) Tu pourrais essayer de développer l'expression  AB² + AC²  en considérant AB et AC comme des vecteurs et en faisant intervenir le point I.

Posté par
philgr22
re : Produit scalaire 19-02-15 à 21:25

Bonsoir:utilise la relation de Chasles avec le point I

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 20-02-15 à 16:02

Bonjour je n'arrive pas à commencer pour utiliser le point I

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 20-02-15 à 16:12

2AB² + AC² = 2(AI + IB)² + (AI + IC)² = . . . .

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 20-02-15 à 16:21

je suis bloqué apres :
2AB² + AC² = 2(AI+IB)² + (AI+IC)² = 2( AI² +2AI.IB + IB² ) + AI² + 2AI.IC + IC²
                                  = 2 AI² + 4AI.IB + 2 IB² + AI² + 2AI.IC + IC²
                                  = 3 AI² .................................... " je suis bloqué"

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 20-02-15 à 16:53

Tu peux mettre 2AI en facteur dans les produits scalaires.

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 20-02-15 à 17:03

=2 AI² + 4AI.IB + 2 IB² + AI² + 2AI.IC + IC²
=3 AI² 2AI (2AI.IB +IC) +2IB²+ IC²

et la j'en fait quoi ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 20-02-15 à 17:18

Réécris bien la 2ème ligne, qui est erronée, puis examine l'expression qui en résulte (en t'aidant de la figure).

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 20-02-15 à 17:21

= 3 AI² + 2AI (2AI.IB + IC ) + 2IB²+ IC²
je ne comprends pas ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 20-02-15 à 19:04

4AI.IB + 2AI.IC = 2*2AI.IB + 2AI.IC = 2AI.(2IB + IC) .
2IB + IC = . . . .

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 20-02-15 à 19:07

et dans l'égalite es ce que vecteur BI = 1/3 BC sert ?
Je ne trouve toujours pas la suite de l'égalité

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 20-02-15 à 19:15

2IB + IC ? Regarde la figure.

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 22-02-15 à 15:12

Je suis perdu, je ne sais pas quoi faire ??

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 22-02-15 à 17:19

comment je peux retrouver 54 dans mon égalité ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 22-02-15 à 17:58

BI = 1/3 BC
BI = 1/3(BI + IC)
BI = 1/3 BI + 1/3 IC
BI - 1/3 BI = 1/3 IC
2/3 BI = 1/3 IC
2BI = IC .
Alors  2IB + IC = . . . .

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 22-02-15 à 18:52

Je ne vois pas....
je suis bloqué ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 22-02-15 à 19:30

2BI = IC
IC - 2BI = 0
IC + 2IB = 0 .
Reprends maintenant le calcul à la 1ère ligne de 17h03, mets en facteur 2AI (cf 19h04) et simplifie (cf ci-dessus).

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 23-02-15 à 09:20

je récapitule on doit trouver 2AB²+AC² = 3AI²+54

2AB²+AC²= 2(AI+IB)² + (AI+IC)²
        = 2 (AI²+ 2AI.IB +IB²) + (AI²+ 2AI.IC +IC²)
        = 2 AI² +4AI.IB + 2IB² + AI² +2AI.IC +IC²
        = 3 AI² + 2AI (2AI.IB + IC) + 2IB² + IC²
        = 3 AI² + (4AI.IB + 2AI.IC) + 2IB² +IC²
        = 3 AI² + (2*2 AI.IB + 2AI.IC) + 2IB²+IC²
        = 3 AI² + 2AI .(2IB + IC) + 2IB² + IC²
        = 3 AI² + 2AI . (0) + 2IB² + IC²
        = 3 AI + 2IB² + IC²                              

et la je suis bloqué car je ne sais pas quoi faire avec IB²+IC² ??

et es ce que le calcul est bon ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 23-02-15 à 09:34

La 4ème ligne est erronée. Il y a un AI de trop :
4AI.IB + 2AI.IC = 2AI(2IB + IC).

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 23-02-15 à 09:55

      
        = 3 AI² + 2(2AI.IB + IC) + 2IB² + IC²                  4e ligne est elle bonne ?
        =3 AI² + (4AI.IB + 2AI.IC) + 2IB² +IC²
        = 3 AI² + (2*2 AI.IB + 2AI.IC) + 2IB²+IC²
        = 3 AI² + 2AI .(2IB + IC) + 2IB² + IC²
        = 3 AI² + 2AI . (0) + 2IB² + IC²
        = 3 AI + 2IB² + IC²  

et apres que es ce que je peux faire ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 23-02-15 à 09:59

Calculer numériquement  2IB² + IC² . (le carré de AI a disparu . . . )

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 23-02-15 à 10:02

derniere ligne

=3 AI² + 2IB² + IC²
=3 AI² + 2 * 6² + 3²
= 3AI² + 2* 36 +9
= 3 AI² + 81

mais on ne retrouve pas 54 ? es ce normal ?

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 23-02-15 à 10:05

non je me suis trompé j'ai inversé on a plutôt

=3 AI² + 2IB² + IC²
= 3AI² + 2*3² + 6²
= 3AI² + 2*9 + 36
= 3 AI² + 18 + 36
= 3 AI² +54

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 23-02-15 à 10:19

et comment je peux déterminer la distance AI

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 23-02-15 à 10:24

En utilisant l'égalité du 1), maintenant démontrée.

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 23-02-15 à 10:26

coMment on démontre ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 23-02-15 à 10:59

On démontre quoi ?

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 23-02-15 à 11:00

pour la question 1) le calcul précédent ne suffit pas ?

pour la 2) j'ai AI=3cm et le triangle est isocèle avec AI et BI et comment on peut faire pour savoir si il est est rectangle en I ?

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 23-02-15 à 11:01

on démontre que 2AB² +AC² = 3AI² +54

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 23-02-15 à 11:08

La question 1) est terminée et la relation a été démontrée.
2) C'est juste. Tu peux maintenant regarder si le théorème de Pythagore s'applique au triangle ABI.

Posté par
welcome
re : Produit scalaire 23-02-15 à 11:19

D'accord merci pour ton aide

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 23-02-15 à 11:22



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