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Droite d'Euler
Bonsoir,
J'ai un dm de maths pour la rentrée.
Soit ABC un triangle non isocèle. A',B' et C' sont les milieux respectifs des segments [BC][AC] et [AB].
1)Construire le cercle C de centre O circonscrit au triangle ABC. Construire ensuite son orthocentre H et son centre de graviter G. Le but de ce problème est de montrer que les points O,H et G sont alignés.
2)Soit D le point diamétralement opposé à A sur le cercle C.
a.De quelle nature sont les triangles ACD et ABD? Justifier.
b.Démontrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles, tout comme (CH) et (BD).
c. En déduire que A' est le milieu de [HD].
3)a.Que représentent les droites (HO) et (AA') pour le triangle AHD?
b.En déduire que les points O,H et G sont alignés.
J'ai fais un dessin à main levé pour vous donnez une idée.
C'est surtout la question 2)b., c., 3)a. et b. que je ne trouve pas.
Merci de m'aider.
vivi2633
bonjour,
1) triangle inscrit dans un cercle avec un côté comme diamètre--> rect
2)(CD)
(AC)
(HB)(AC)
--> (CD)//(HB)
(CH)//(BD)
(HB)//(CD)
--> CHBD est un //logramme
ses diagonales se coupent en leur milieu
-->A' est le milieu de [HD] et de [BC]
dans le triangle AHD :
(AA') est la médiane issue de A, G (centre de gravité) appartient à [AA'] est placé à 1/3*AA' de A'
O est le milieu de [AD] par construction et (OH) est la médian issue de H
le point de concours des médianes est le centre de gravité de ce triangle--> G
O, H et G soint alignés
Merci beaucoup voici tous ce que j'ai marqué sur ma copie :
2) a.Le triangle ACD et ABD sont rectqngles car ils sont inscrits dans un cercle avec comme coté un diamétre.
b.La droite (CD) est perpendiculaire à la droite (AC) et la droite (HB) est perpendiculaire à la droite (AC) donc les droites (BH) et (CD) sont parallèles. La droite (CH) est perpendiculaire à la droite (AB) et la droite (BD) est perpendiculaire à la droite (AB).
c.Vu que les droites (CH) et (BD) ainsi que (HB) et (CD) sont parallèles alors CHBD est un parallélogramme et ses droites se coupent en leur milieu donc A' est le milieu de [HD].
3) a.Dans le triangle AHD, (AA') est la médiane issue de A et (OH) est la médiane issue de H.
b.Le centre de graviter G appartient à [AA'], il est placé à 1/3 de AA' de A'.
O est le milieu de [AD] par construction.
Le point de concours des médianes est le centre de graviter de ce triangle. Donc en vertu de toutes ces affirmations les points O, H et G sont alignés.
Voila.
Merci de me confirmer si ceci est juste et encore merci pour l'aide.
vivi263e
C'est bien.
Tu pourrais toutefois apporter quelques précisions :
2.b) (HB) est à (AC) car H est l'orthocentre de ABC et (HB)) la hauteur issue de B.
c). . . et ses diagonales se coupent en leur milieu, qui est le point A' milieu de [BC].
3.a) Les médianes (OH) et (AA') du triangle AHD se coupent en son centre de gravité, donc au tiers de AA', où se trouve précisément G centre de gravité de ABC; G est donc aligné avec O et H.
Arrange cela pour le mieux (en améliorant ma rédaction . . . ).
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