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Niveau autre
Estimation, loi uniforme, Monte-Carlo
Posté par jp75015
Bonsoir à tous,
J'ai besoin d'un peu d'aide, merci d'avance à celui/celle qui m'aidera 
On a X qui suit une loi uniforme sur [0,1], f une fonction continue sur [0,1] et E(f(X))=J, J étant donc l'intégrale sur [0,1] de f
On note V(f(X))=
2 > 0 , et Sn=
(de i=1 à i=n) g(Xi)
avec les (Xi) qui suivent toutes la loi de X
Je dois trouver un intervalle de confiance asymptotique pour J au niveau de confiance 95% , avec Sn
J'arrive à ceci
J
[(Sn/n) - 1.96/
n , (Sn/n) + 1.96/n]
Sauf que j'aimerais me débarrasser de l'écart-type qui n'est pas connu ... et je bloque !
J'utilise le théorème de Slutsky ? Mais avec quoi (nouvel estimateur ? moyenne empirique ?) et de quelle manière ?
Merci par avance à la personne qui m'expliquera !
Ensuite, en notant Z=1/2 [f(X)+f(1-U)]
dans la suite de l'exercice, je dois démontrer , avec les mêmes notations que plus haut, que
E[f(X)f(1-X)]
(E[f(X)])2, sachant que E[(f(X)-f(Y))(f(1-X)f(Y))] 0 , avec Y qui suit la même loi que X et qui est indépendante de X
J'ai fait apparaître f(1-X) dans l'élément de droite (qui est au carré) pour retrouver du f(X)f(1-X) mais je n'utilise pas le résultat qui est inférieur ou égal à 0 ...
Avec l'égalité à prouver, je dois ensuite montrer que V(Z)1/2 V(f(X)), et je bloque encore, même en utilisant le théorème de Huygens ...
Encore merci d'avance si quelqu'un veut bien m'aider
Oui voilà tu prends un estimateur de l'écart type (par exemple Tn = racine(1/n somme (f(xi)²) -* (1/n somme(f(xi))²))
Tu sais que si Tn -> a réel p.s et si An -> A v.a en loi Slutsky donne que Tn.An -> a.A en loi
Alors en fait tu sais que racine(n)/Tn * (Sn/n - J) = sigma/Tn * racine(n)/sigma * (Sn/n - J) --> (loi) 1*N avec N suivant N(0,1)
D'accord, donc en fait, je prends la variance empirique (=Tn) comme estimateur ?
Merci pour votre aide !
Vous auriez le temps de me donner un coup de pouce pour la 2ème question ?
En développant :
E[f(X)f(1-X)] + E[f(X)f(Y)] - E[f(Y)²] - E[f(Y)f(1-X)] <= 0
1-X ~ X en loi et par indépendance de X et Y t'as les 2 termes qui s'annulent