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Les nombres complexes exo
Bonsoir, j'ai un peu de mal avec cet exercice de maths et j'aimerais qu'on me donne un petit coup de pouce 
Voici l'exercice:
Si n est un entier non nul, on dit que le nombre complexe z est une " racine n-ième de l'unité" si on a : zn = 1.
1)a) determiner une racine evidente de l'equation E3, puis justifier que cette equation equivaut à :
(z-1)(z2+z+1) = 0
b) resoudre l'equation E3, puis ecrire les solutions sous forme exponentielle.
c) on pose j = ei2
/3, et on rapporte le plan complexe a un repere orthonormé direct (O, 
,
).
demontrer que les trois points d'affixes respectives 1, j, j² forment un triangle equilateral dont le centre du cercle circonscrit est le point
O.
On pose l'equation E4, z4 = 1
2)a) on pose z = rei
, r strictement superieur à 0 et 
justifier que z4 = 1 
r4 = 1
et 4 = 0 (2)
b) demontrer que l'equation E4 a exactement quatre solutions qui sont les puissances successives du nombre complexe i.
On pose l'equation En, zn = 1, ou n 
2
3) adapter la methode exposée dans le 2) pour resoudre l'equation En et exprimer sous forme exponentielle ses n solutions. Retrouver, pour le cas n = 4 les solutions de l'equation E4.
J'ai fais les questions 1)a) et 1)b) mais je bloque a la c) ce qui m'embete un peu. merci de votre aide en tout cas ^^
1)a) donc pour n=3
l'équation devient z3-1 = 0 et comme z=1 est une racine évidente
z3-1 = (z-1)(z2-az+1) développe et trouve que a = 1 en identifiant terme à terme avec z3-1
b) (E3): z3-1 = 0
(z-1)(z2+z+1) = 0
1ere solution: z1 = 1
les 2 autres s'obtiennent en résolvant:
z2+z+1 = 0
= 1-4 = -3 = (i
3)2
z2 = (-1-i3)/2 = ei4/3
z3 = (-1+i3)/2 = ei2/3
c) remarque: 1, j et j2 sont nos trois racines z1, z2 et z3
soit A d'affixe 1 donc A(1;0)
B d'affixe j donc B(-1/2;(3)/2)
C d'affixe j2 donc C(-1/2;(-3)/2)
donc A, B et C sont tous les 3 sur le cercle trigo (de centre O évidemment) puisque leurs affixe vérifient |z|3=1 en effet cela se déduit du fait que z3 = 1
donc O est bien le centre du cercle circonscrit au triangle (donc le point d'intersection des médiatrices)
et comme OA + OB + OC = 0 (en vecteurs) puisque 1 + j + j2 = 0 alors O est aussi le centre de gravité du triangle (intersection des médianes)
O étant à la fois le point d'intersection des médianes et des médiatrice, alors le triangle est équilatéral.
2) (E4): z4 = 1 avec z=rei
donc |z4| = |1| = 1 et comme d'après le cours |zn| = |z|n alors |z|4 = 1 donc r4 = 1
z4 = 1
or z4 = r4ei4 = ei4 puisque r4 = 1
et 1 = ei2k avec k
donc z4 = 1 devient ei4 = ei2k
donc 4 = 2k ce qui revient à dire que 4 = 0 modulo 2)
b) z4-1 = (z2-1)(z2+1) = (z2-1)(z2-i2) = (z+1)(z-1)(z+i)(z-i)
donc les racines sont bien 1;-1;i et -i
et on a bien:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = -i
3) zn = 1 donc rn = 1 donc r = 1 donc z = ei
zn = 1 équivaut à ein = ei2k avec k = {0;1;2;3;....;n-1} pour avoir les n racines
donc n = 2k donc = 2k/n avec k = {0;1;2;3;....;n-1} pour avoir les n racines
donc les n racines nième de l'unité sont z = ei = ei2k/n pour k = {0;1;2;3;...;n-1}
donc:
z = 1 (pour k=0)
z = ei2/n (pour k=1)
....
z = ei2(n-1)/n (pour k=n-1)
on retrouve le cas pour n=4:
les 4 racines 4ième de l'unité sont z = ei = ei2k/4 = eik/2 pour k = {0;1;2;3}
donc:
z = 1 (pour k=0)
z = ei/2 = cos(/2)+isin(/2) = i (pour k=1)
z = ei = cos()+isin() = -1 (pour k=2)
z = ei3/2 = cos(3/2)+isin(3/2) = -i (pour k=3)
regarde mon post de 22h42:
z1 = 1
z3 = j = ei2/3 = (-1+i3)/2
z2 = j2 = ei4/3 = (-1-i3)/2
(d'ailleurs je le dis dans ma première phrase du post de 23h04)
donc:
1+j+j2 = 1 + (-1+i3)/2 + (-1-i3)/2 = 1 - 1/2 + i(3)/2 - 1/2 - i(3)/2 = 1-1 = 0
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