salut camarade Black Hole


l'explication est didactique


avant toute chose en ce qui concerne les  composantes covariantes et contravariantes


tout d'abord par convention on dira que les composantes d'un vecteur vec {V} quelconque definit sur la base canonique Id sont des composantes covariantes

(bien évidemment ce n'est pas le seul cas ...mais là on commence l'explication et cette convention est acceptable pour commencer)

on notera ce vecteur vec {V_i} avec l'indice i situé en bas

il résulte d'une telle convention :

Soit un systeme de P vecteurs de |R^n  et definis sur la base canonique alors on notera {vec {V_ij}} est ce systeme de P vecteurs

dont les composantes sont covariantes

Soit une base base {E} definie sur la base canonique alors on notera base {E_ij} est cette base  dont les composantes sont covariantes

ensuite il s'agit ici d'expliquer la notion de dualité de l'espace vectoriel en ce qui concerne les notions de composantes covariantes et contravariantes

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produit scalaire euclidien

soient  deux vecteurs vec {V} et vec {W} et  une base  base {E} definis sur la base canonique Id de |R^n    

on note vec {X} et vec {Y} les deux vecteurs respectivement  vec {V} et vec {W} mais definis sur la base  base {E}

par consequent [vec {X}] = [base {E}]^-1.[vec {V}] et donc   [vec {V}] = [base {E}].[vec {X}]  

[vec {Y}] = [base {E}]^-1.[vec {W}] et donc   [vec {W}] = [base {E}].[vec {Y}]  
  
on considere le produit scalaire euclidien

vec {V}.vec {W}= vec {X}.vec {Y} = ||vec {V}||.||vec {W}||.cos(phi)=||vec {X}||.||vec {Y}||.cos(phi)

effectivement le fait que les vecteurs ne soit pas definis sur la même base n'empeche pas leur norme varier ni l'angle formé par les deux vecteurs

vec {V}.vec {W} = v_1.w_1+v_2.w_2+...+v_n.w_n

vec {X}.vec {Y} =

x_1.y_1.g_11+x_1.y_2.g_12+...+x_1.y_n.g_1n+
x_2.y_1.g_21+x_2.y_2.g_22+...+x_2.y_n.g_2n+
...
x_n.y_1.g_n1+x_n.y_2.g_n2+...+x_n.y_n.g_nn

g_ij sont les composantes de la base associée notée base {G} de la base  base {E} et on verifie [base {G}] = [base {E}]^A = [base {E}]^t.[base {E}]

[base {E}]^t étant la matrice transposée de [base {E}]

lorsque base {E} est orthogonale alors vec {X}.vec {Y} = x_1.y_1.g_11 + x_2.y_2.g_22 + ... + x_n.y_n.g_nn

lorsque base {E} est orthonormée alors vec {X}.vec {Y} = x_1.y_1.lambda + x_2.y_2.lambda +...+ x_n.y_n.lambda avec lambda = g_11 = g_22 = ... = g_nn

lorsque base {E} est ortho-unitaire vec {X}.vec {Y} = x_1.y_1 + x_2.y_2 +...+ x_n.y_n  


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on complete  en ce qui concerne les composantes covariantes et contravariantes

à tout vecteur vec {X} défini sur une base base {E} on considere vec {X_i} la notation qui definit ce vecteur par des composantes covariantes

vec {X^i}  la notation qui definit ce vecteur par des composantes contravariantes

telles que selon le produit scalaire euclidien on obtiens vec {X}^2 = x_1.x^1 + x_2.x^2 + ... + x_n.x^n

par convention on a dit que les composantes d'un vecteur vec {V} quelconque definit sur la base canonique Id sont des composantes covariantes



Par ailleurs étant donné que c'est la nature de la base sur laquelle est definie un vecteur qui va influer sur l'expression du produit scalaire par conséquent :

soient deux vecteurs vec {V_i} et vec {W_i} et  une base  base {E_ij} definis sur la base canonique Id de |R^n  

ici on exprime donc des composantes covariantes

cependant étant donné que la base canonique est ortho-unitaire on peut aussi écrire

soient deux vecteurs vec {V^i} et vec {W^i} et  une base  base {E_ij} definis sur la base canonique Id de |R^n

ici les composantes des vecteurs sont contravariantes puisque on a les égalitées   V_i = V^i et W_i = W^i
  

on note vec {X^i} et vec {Y^i} les deux vecteurs respectivement  vec {V^i} et vec {W^i} mais definis sur la base  base {E_ij}

par consequent [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et donc   [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}]  

[vec {Y^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {W^i}] et donc   [vec {W^i}] = [base {E_ij}].[vec {Y^i}]  
  
on considere le produit scalaire euclidien

vec {V}.vec {W} = v^1.w^1+v^2.w^2+...+v^n.w^n

vec {X}.vec {Y} =

x^1.y^1.g_11+x^1.y^2.g_12+...+x^1.y^n.g_1n+
x^2.y^1.g_21+x^2.y^2.g_22+...+x^2.y^n.g_2n+
...
x^n.y^1.g_n1+x^n.y^2.g_n2+...+x^n.y^n.g_nn

g_ij sont les composantes de la base associée notée base {G_ij} de la base  base {E_ij} et on verifie [base {G_ij}] = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}]

étant donné l'égalitée des composantes covariantes et contravariantes des vecteurs definis sur une base ortho-unitaire

vec {V}.vec {W} = vec {X}.vec {Y} = v^1.w^1+v^2.w^2+...+v^n.w^n = x^1.y_1+x^2.y_2+...+x^n.y_n = x_1.y^1+x_2.y^2+...+x_n.y^n

par conséquent en considérant le produit scalaire vec {X}.vec {X} on verifie

x_1 = x^1.g_11+x^2.g_12+...+x^n.g_1n
x_2 = x^1.g_21+x^2.g_22+...+x^n.g_2n
...
x_n = x^1.g_n1+x^2.g_n2+...+x^n.g_nn

de sorte que x_i=g_ik.x^k par conséquent [vec {x_i}] = [base {G_ij}].[vec {x^i}] de sorte que [vec {x^i}] = [base {G_ij}]^-1.[vec {x_i}]


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base réciproque et base associée réciproque  

on a vu que  [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[vec {V^i}] et donc   [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}]

le vecteur vec {V^i} étant défini par la base canonique Id de sorte que l'on a l'égalitée v_i = v^i

de la même manière il existe une base dite base réciproque de la base base {E_ij} qui sous la forme matricielle est notée [base {E_ij}]^R = [base {E^ij}]

telle que [vec {X_i}] = [base {E^ij}]^-1.[vec {V_i}] de sorte que [vec {V_i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]

par ailleurs selon l'égalitée v_i = v^i on obtiens donc [vec {V^i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]

enfin [vec {V^i}] = [base {E_ij}].[vec {X^i}] par consequent [base {E_ij}].[vec {X^i}] = [base {E^ij}].[vec {X_i}]

et donc [vec {X^i}] = [base {E_ij}]^-1.[base {E^ij}].[vec {X_i}] = [base {G_ij}]^-1.[vec {x_i}]

de sorte que

[base {E_ij}]^-1.[base {E^ij}] =  [base {G_ij}]^-1 et donc

[base {E^ij}] = [base {E_ij}].[base {G_ij}]^-1 = [base {E_ij}].([base {E_ij}]^t.[base {E_ij}])^-1 = [base {E_ij}].[base {E_ij}]^-1.([base {E_ij}]^t)^-1

l'ensemble des bases munis du produit étant un groupe le produit est donc associatif, il résulte donc  [base {E^ij}] = ([base {E_ij}]^t)^-1
  

Soit une base {E_ij} definie par des composantes covariantes sur une base quelconque B alors il existe une base dite la base reciproque de la base base {E_ij}

et notée base {E^ij} definie par des composantes contravariantes sur cette base quelconque B et definie par le produit matriciel

[base {E^ij}] = [base {E_ij}]^R = ([base {E_ij}]^t)^-1 =  ([base {E_ij}]^-1)^t




Soit une base {E^ij} definie par des composantes contravariantes sur une base ortho-unitaire B alors il existe une base dite la base reciproque de la base base {E^ij}

et notée base {E_ij} definie par des composantes covariantes sur cette base ortho-unitaire B et definie par le produit matriciel

[base {E_ij}] = [base {E^ij}]^R = ([base {E^ij}]^t)^-1 =  ([base {E^ij}]^-1)^t


par ailleurs la base associée notée base {G_ij} de la base {E_ij} et on verifie

[base {G_ij}] = [base {E^ij}]^A = [base {E_ij}]^t.[base {E_ij}]

pour un vecteur vec {X} defini sur cette base alors  [vec {x_i}] = [base {G_ij}].[vec {x^i}] et [vec {x^i}] = [base {G^ij}].[vec {x_i}]

en effet on avait vu [vec {x^i}] = [base {G_ij}]^-1.[vec {x_i}] par consequent on doit demontrer que [base {G^ij}] = [base {G_ij}]^-1

or [base {G^ij}] = [base {G_ij}]^R = ([base {G_ij}]^t)^-1 cela signifie qu'il faut demontrer que [base {G_ij}] = [base {G_ij}]^t

ce qui est le cas car base {G_ij} ayant pour composantes g_ij chacune d'elles donne le produit scalaire euclidien du vecteur i par le vecteur j

le produit scalaire euclidien étant commutatif il resulte que g_ij = g_ji

la base {G^ij} est la base associée réciproque de la base {E_ij}

Bonjour !
Sans covariance ni produit scalaire !
D'abord, bien comprendre que le dual est un espace dont les éléments sont des formes linéaires, c'est-à-dire des applications linéaires envoyant un vecteur sur un réel (si tu travailles sur ).
Si est une base de l'espace chaque vecteur s'écrit, de manière unique, sur la base : .
Les applications sont des formes linéaires, dites aussi formes coordonnées associées à la base donnée.
Il se trouve que ces formes forment une famille libre et génératrice du dual : elles forment donc une base du dual, c'est la base duale de la base donnée dans . En particulier, puisque on a aussi la relation fondamentale :

On a pris l'habitude de noter le dual (donc espace de formes linéaires) de . Pour la même raison, la forme coordonnée est souvent notée et la relation précédente s'écrit alors . Tu trouvera aussi la notation pour

Bonjour

une autre manière de dire la même chose que Luzak :

la base duale d'une base est la base de , où les formes linéaires sont définies par :

E K-espace vectoriel de dimension fini et une base de E. On s'intéresse maintenant à un autre K-espace vectoriel : l'ensemble des formes linéaire de E dans K noté . On se demande alors si cet espace est de dimension fini et si oui quel base peut-on donner ...
La base qu'on aime est dite base duale et est donnée dans le topic de lafol

Bien, merci à vous tous d'avoir pris le temps de me répondre, je crois avoir bien compris!

Bonne soirée