Oups, je vous prie de m'excuser j'ai failli oublié de mettre l'image que j'ai préparé --' :

Bonjour,

Pour le 1) tu n'as démontrer que la première implication. On demande une équivalence.
Pour le 2)tu pourrais mieux présenter. On peut dire par exemple: "soit M le point d'intersection de ..."
à condition d'avoir montré avant que les deux droites en question ne sont pas pas parallèles, pour que le point d'intersection existe.

Pour le 3) ce n'est pas très clair...

Bonsoir!

Tout d'abord, je tiens à vous remercier pour votre aide ^^ ! Mais j'aurai quelque question à vous poser en ce qui concerne vos explication:

-Je ne vois pas pourquoi dans la 1 je n'ai pu prouver que la première implication, puisque j'ai prouvé que AM.AC = a²/2 et que le point M appartient à la médiatrice [AC] ( puisque D est le projeté orthogonal de M sur [AC]).

- Pour la 2, je ne vois pas comment démontrer que les deux droites en question ne sont pas parallèles, pourriez vous me donner un indice s'il vous plaît ? Sinon, pour la présentation je suivrai votre conseil et je tenterai de l'améliorer.

-Pour la 3, je n'ai pas vraiment de question. Je ferai comme pour la 2 dès que je finirais la nouvelle présentation je vous en ferais part.

Sur ce je vous remercie encore une fois de votre immense aide et je vous souhaite une bonne soirée!

1) Tu as prouvé que si M est sur la médiatrice, alors AM.AC = a²/2.
Mais il pourrait à priori exister d'autres points du plan qui satisferaient à cette égalité.
Il faut donc aussi prouver l'inverse: Si AM.AC = a²/2 alors M est sur la médiatrice.

Suggestion: on pourrait par exemple considérer un point M quelconque du plan et sa projection orthogonale H sur AC en notant x la valeur algébrique de AH (x>0 si H est du côté de C et x<0 si H est de l'autre côté).
On peut alors calculer AM.AC en fonction de a et x.
Ensuite on peut poser l'hypothèse - puisque pour l'instant nous étions dans le cas général - et faire des équivalences. Cela évite de démontrer les deux implications.

2) L'une des deux droite fait un angle pi/6 avec AB et l'autre est perpendiculaire à AB, on en déduit facilement qu'elles ne peuvent être//

Bonjour!

Voici ce que j'ai fait en prenant en compte vos conseils, par contre j'ai essayé de comprendre votre suggestion mais je ne comprends pas bien la démarche ^^'.

1) Soit D milieu de [AC], sachant que la médiatrice (f) du triangle ABC coupe le segment [AC] en son milieu et est perpendiculaire avec ce dernier. Alors, D est le projeté orthogonal de M sur [AC], d'où:

AM.AC = AC.AD = //AC//*//AD//*cos (AC,AD) = a*a/2*1=a²/2

M appartient à  la médiatrice du segment [AC] si et seulement si MD.AC=0 et AM.AC=a²/2 .

2)a) Le point M est tel que AM.AB=0, ce qui équivaut à dire que (AM)(AB) en A. De plus, le point M est tel que AM.AC=a²/2 ce qui implique que M appartient à la médiatrice de [AC].
Ainsi le point M est l'intersection de ces deux droites, et il existe puisque les points A,B et C ne sont pas alignés et que les deux droites ne sont pas parallèles. Qui plus est le point d'intersection de deux droites est unique.

2)b) Le triangle ABM est rectangle en A, car AM.AB=0. Sachant que M est un point de la médiatrice de [AC], nous avons donc C qui est le symétrique de A par rapport à (MB), ce qui implique que BCM est rectangle en C. Ainsi les deux triangles BCM et ABM ont le même hypoténuse [MB], et sachant que tout triangle dont un de ces côtés correspond au diamètre d'un cercle, nous avons donc les points ABC et M qui appartiennent au cercle de diamètre [MB] et comme (MB) est la médiatrice de [AC], M appartient au cercle circonscrit du triangle ABC.








le triangle (ABM) est rectangle en A
M appartient à la médiatrice de [AC] dpnc C est le symétrique de A par rapport à (BM) donc le triangle (BCM) est rectangle en C
les deux triangle (ABM) et (BCM) ont la même hypothénus [MB] donc ABC et M appartiennt au meme cercle de diamètre [BM]
comme (BM) est la méditrice de [AC] donc M appartient au cercle circonscrit de (ABC)

Bonjour!

Voici ce que j'ai fait en prenant en compte vos conseils, par contre j'ai essayé de comprendre votre suggestion mais je ne comprends pas bien la démarche ^^'.

1) Soit D milieu de [AC], sachant que la médiatrice (f) du triangle ABC coupe le segment [AC] en son milieu et est perpendiculaire avec ce dernier. Alors, D est le projeté orthogonal de M sur [AC], d'où:

AM.AC = AC.AD = //AC//*//AD//*cos (AC,AD) = a*a/2*1=a²/2

M appartient à  la médiatrice du segment [AC] si et seulement si MD.AC=0 et AM.AC=a²/2 .

2)a) Le point M est tel que AM.AB=0, ce qui équivaut à dire que (AM)(AB) en A. De plus, le point M est tel que AM.AC=a²/2 ce qui implique que M appartient à la médiatrice de [AC].
Ainsi le point M est l'intersection de ces deux droites, et il existe puisque les points A,B et C ne sont pas alignés et que les deux droites ne sont pas parallèles. Qui plus est le point d'intersection de deux droites est unique.

2)b) Le triangle ABM est rectangle en A, car AM.AB=0. Sachant que M est un point de la médiatrice de [AC], nous avons donc C qui est le symétrique de A par rapport à (MB), ce qui implique que BCM est rectangle en C. Ainsi les deux triangles BCM et ABM ont le même hypoténuse [MB], et sachant que tout triangle dont un de ces côtés correspond au diamètre d'un cercle, nous avons donc les points ABC et M qui appartiennent au cercle de diamètre [MB] et comme (MB) est la médiatrice de [AC], M appartient au cercle circonscrit du triangle ABC.

Bonjour!

Voici ce que j'ai fait en prenant en compte vos conseils, par contre j'ai essayé de comprendre votre suggestion mais je ne comprends pas bien la démarche ^^'.

1) Soit D milieu de [AC], sachant que la médiatrice (f) du triangle ABC coupe le segment [AC] en son milieu et est perpendiculaire avec ce dernier. Alors, D est le projeté orthogonal de M sur [AC], d'où:

AM.AC = AC.AD = //AC//*//AD//*cos (AC,AD) = a*a/2*1=a²/2

M appartient à  la médiatrice du segment [AC] si et seulement si MD.AC=0 et AM.AC=a²/2 .

2)a) Le point M est tel que AM.AB=0, ce qui équivaut à dire que (AM)(AB) en A. De plus, le point M est tel que AM.AC=a²/2 ce qui implique que M appartient à la médiatrice de [AC].
Ainsi le point M est l'intersection de ces deux droites, et il existe puisque les points A,B et C ne sont pas alignés et que les deux droites ne sont pas parallèles. Qui plus est le point d'intersection de deux droites est unique.

2)b) Le triangle ABM est rectangle en A, car AM.AB=0. Sachant que M est un point de la médiatrice de [AC], nous avons donc C qui est le symétrique de A par rapport à (MB), ce qui implique que BCM est rectangle en C. Ainsi les deux triangles BCM et ABM ont le même hypoténuse [MB], et sachant que tout triangle dont un de ces côtés correspond au diamètre d'un cercle, nous avons donc les points ABC et M qui appartiennent au cercle de diamètre [MB] et comme (MB) est la médiatrice de [AC], M appartient au cercle circonscrit du triangle ABC.

Excusez-moi j'ai buggé et j'ai eu un triple post.

Ah oui petite précision avant que j'oublie, les explications du 2)b ne sont pas entièrement de moi j'ai trouvé une explication qui illustrais parfaitement ce que je n'arrivais pas à expliquer de manière correcte.

Quelques conseils pour être clair dans tes explications:

1)
Tu dis"
1) Soit D milieu de [AC], sachant que la médiatrice (f) du triangle ABC coupe le segment [AC] en son milieu et est perpendiculaire avec ce dernier. Alors, D est le projeté orthogonal de M sur [AC], d'où:"
On ne comprends pas pourquoi il y a une virgule après [AC] et encore moins pourquoi il y a un point avant "Alors".
On dirait un texte mal recopié.
La logique voudrait qu'après une définition du type "Soit D...." il y ait un point.
Ensuite le raisonnement est: "Sachant que..., alors ...". avec une virgule entre les deux parties et non un point.
Mais de toute façon, ce raisonnement "Sachant que..., alors ..."  n'est rien d'autre qu'une implication.
"D'où" est encore une implication.
Donc au total tu as démontré une implication, tu ne peux en déduire une équivalence.

En fait dans ma suggestion, j'ai calculé AM.AC pour un point M quelconque du plan. Je trouve l'expression générale, - valable pour tout M du plan -:
AM.AC = a.x
Ensuite je procède par équivalences:
  M appartient à la médiatrice de ABC issue de B
<=> projeté ortho de M sur AC est le milieu de AC
<=> x = a/2
<=> ax = a²/2    (en multipliant par a)
<=> AM.AC = a²/2 (puisque AM.AC = a.x)


2a)
Il est souvent plus intéressant pour la clarté de l'exposé d'énoncer un théorème général puis de l'appliquer au cas particulier qui nous intéresse.
Exemple ici:
Deux droites non parallèles se coupent en un point unique (théorème)
La médiatrice et la droite AB sont non parallèles donc se coupent en un point unique.
Les répétitions ne sont pas des fautes en math, contrairement en français. Elles éclaircissent au contraire le débat, pour montrer par exemple que l'on a bien appliqué le théorème énoncé.

2b)Tu dis " sachant que tout triangle dont un de ces côtés correspond au diamètre d'un cercle," On ne peut pas dire que ce soit très clair...
Après "sachant que" il faut écrire une phrase complète, ici tu dis en gros "sachant que tout triangle", il manque un verbe et un complément...

Pour cette question, je serais tenté par exemple d'introduire un point K symétrique de B par rapport au centre du cercle circonscrit. (Soit K ....)
On sait que le triangle BAK est rectangle en A (théorème).
Donc K est à l'intersection de ... et de ...
On doit en déduire que K = M,  vu l'unicité de l'intersection du point démontrée plus haut.
K est sur le cercle donc M aussi.

Pour résumer: Définitions, théorèmes, application des théorèmes, déductions, etc...
Le tout exposé clairement.
Bon courage.

Bonjour!

Encore une fois je tiens à vous remercier de votre aide! Dès que j'aurai finis de renouveler ma présentation, je viendrai vous la montrer.

Bonsoir!

Voilà la présentation refaites après avoir suivis vos conseil:

1)Soit D milieu de [AC]. Si M est un point de la médiatrice de [AC], alors D est le projeté orthogonal de M sur [AC]. Ainsi AM.AC=AD.AC=a*a/2=a²/2.


2)a) Soit la droite (d) perpendiculaire à [AB] en A. Deux droites non parallèles se coupent en un point unique. La médiatrice de [AC] et la droite (AM) ne sont pas parallèles, donc se coupent en un point unique M.
M est tel que AM.AC=AD.AC=a²/2, puisque D est le projeté orthogonal de M sur [AC] et AM.AB=0, car les droites (AB) et (AM) sont perpendiculaires.

b) Soit K symétrique de B par rapport au centre O du cercle circonscrit du triangle ABC.Si le cercle circonscrit à un triangle ABC a pour diamètre le côté [BC], alors le triangle ABC est rectangle en A. Le triangle BAK a pour côté le diamètre [AB], donc le triangle BAK est rectangle en A. De plus K est à l'intersection de la médiatrice de [AC] et de la droite (d). On en déduit alors que K=M et  vu l'unicité de l'intersection du point démontrée plus haut.
K est sur le cercle donc M aussi.


Bon voilà ce que j'obtiens en tentant de suivre la démarche que vous m'avez donné, par contre j'ai d'énorme doute en ce qui concerne la rédaction des questions 2)a et 2)b --'.