Niveau première

Produit Scalaire sur un carré

Posté par
Fafrick 22-04-15 à 20:26

Bonjour à tous!

Énoncé :
Soit ABCD un carré de côté a.
On note I, J et M les milieux des segments [AB], [AD] et [AI], puis H le projeté orthogonal de A sur la droite (DI).

Voici une figure que j'ai réalisé avec GeoGebra pour vous aider à visualiser.
Produit Scalaire sur un carré

1. Démontrer que $\vec{HA}.\vec{AD}=\vec{AI}.\vec{HA}=-AH²$
2. Démontrer que $\vec{HI}.\vec{HD} = -AH²$
3. Justifier que $\vec{HM}=1/2(\vec{HI}+\vec{HA})$ et que $\vec{HJ}=1/2(\vec{HA}+\vec{HD})$
4. Démontrer que les droites (HM) et (HJ) sont perpendiculaires.

Voici ce que j'ai fait (pas mal d'erreurs je pense donc à chaque fois je suis bloqué..)

1. $\vec{HA}.\vec{AD}=(\vec{HI}+\vec{IA}).(\vec{AI}+\vec{ID})$
$= \vec{HI}.\vec{AI}+\vec{HI}.\vec{ID}+\vec{IA}.\vec{AI}+\vec{IA}.\vec{ID}$
$= \vec{AI}.\vec{AI}$ (par projection) $-HI \times ID$ (Colinéaires de sens opp) $-IA \times AI$ (Colinéaires de sens opp) $+0$ (orthogonaux)
$=AI²-HI \times ID+AI² \\ =2AI²$

Et là je suis complètement bloqué..

2.
$\vec{HI}.\vec{HD}=(\vec{HA}+\vec{AI}).(\vec{HA}+\vec{AD}) \\ = \vec{HA}.\vec{HA}+\vec{HA}.\vec{AD}+\vec{AI}.\vec{HA}+\vec{AI}.\vec{AD} \\ = \vec{HA²}+\vec{DA}.\vec{AD}+\vec{AI}.\vec{IA}+0 \\ = HA²-DA \times AD+\vec{AI}.\vec{IA}+0$
Bloqué...

3.
$\vec{HM}-1/2(\vec{HI}+\vec{HA})=0 \\ \vec{HJ}-1/2(\vec{HA}+\vec{HD})=0$
Je n'arrive pas à aller plus loin

4.
$(\vec{HM}.\vec{HJ}=(1/2\vec{HI}+1/2\vec{HA}).(1/2\vec{HA}+1/2\vec{HD}) \\ =1/4(\vec{HI}.\vec{HA})+1/4(\vec{HI}.\vec{HD})+1/4(\vec{HA}.\vec{HA})+1/4(\vec{HA}.\vec{HD})$
et là je suis bloqué!

Merci de bien vouloir m'aider à résoudre cet exercice!

Posté par re : Produit Scalaire sur un carré 22-04-15 à 20:48

Bonjour,

d'une part tu fais des erreurs, et d'autre part la méthode (la décomposition) n'est pas la bonne !!
ça ne risquait pas d'aboutir

(tout en vecteurs)
HA.AD = HA.(AH+HD) pour montrer que HA.AD = -||HA||²

et indépendamment
AI.HA = (AH+HI).HA pour montrer que AI.HA = -||HA||²

mais bof

tu invoques à un certain moment "par projection"

visiblement tu ne sais pas ce que veut dire correctement par projection pour un produit scalaire

on projette un des vecteur sur la droite support de l'autre et uniquement ça
pas sur une autre droite ou je ne sais quoi

tu écris (en vecteurs)
HI.AI = AI.AI

prétendant que le vecteur AI serait la projection (orthogonale) de HI sur la droite (AI)
c'est à dire que A serait la projection orthogonale de H sur la droite (AI)
(c'est bien ça "par projection" relis bien ce que j'ai écrit)
tu comprends ce qu'est une projection orthogonale ??

une fois que tu auras réellement assimilé ce truc des projections orthogonales pour calculer des produits scalaires tu comprendras que cette question 1 se résout sans aucune décomposition du tout, directement par projection orthogonale d'un des vecteurs directement de l'énoncé

et si on ne comprend pas le coup de la projection orthogonale (ou si on a un doute sur son application) on décompose effectivement comme je l'ai suggéré
et on utilise uniquement et exclusivement les produits scalaire de deux vecteurs colinéaires
et le produit scalaire (nul) de deux vecteurs orthogonaux et rigoureusement rien d'autre
et c'est d'ailleurs comme ça qu'on démontre le coup des projections

je n'ai pas regardé les questions suivantes, vu la cata de la question 1.

Posté par re : Produit Scalaire sur un carré 23-04-15 à 10:16

Bonjour! Merci pour ta réponse! Tu as bien ciblé mon problème en effet.. ce sont les projections orthogonales, je comprend tout à fait les exemples du cours et les définitions mais dès que je me retrouve dans un exercice, je n'arrive pas à les appliquer. Donc j'ai énormément de mal avec ces projections!

Pour la question 1, j'ai fait les deux méthodes que tu m'as conseillé.
La première méthode étant d'introduire H dans le vecteur $\vec{AD}$ .
$\vec{HA}.\vec{AD} = \vec{HA}.(\vec{AH}+\vec{HD}) \\ = \vec{HA}.\vec{AH}+\vec{HA}.\vec{HD} \\ = -HA \times AH + \vec{HA}.\vec{HH}$ (avec H le projeté orthogonal de D sur la droite (HA))
$= -AH²$ (étant donné que c'est une longueur) $+ 0$ (orthogonaux)
$= -AH²$
Ici je trouve donc -AH² qui est le résultat attendu mais je n'ai pas réussi à démontrer que $\vec{HA}.\vec{AD} = \vec{AI}.\vec{HA}$

J'ai donc essayé la deuxième méthode (sans décomposition uniquement par projection)
$\vec{}.\vec{} = \vec{}.\vec{}$
et là je suis bloqué, j'ai l'impression qu'on doit faire ça en projetant deux fois et à la fin je devrais passer d'un vecteur $\vec{AH}$ au vecteur $\vec{AI}$

Posté par re : Produit Scalaire sur un carré 23-04-15 à 10:19

Une partie du texte n'est pas passé..

J'ai donc essayé la deuxième méthode (sans décomposition uniquement par projection)
$\vec{HA}.\vec{AD} = \vec{HA}.\vec{AH}$
et là je suis bloqué, j'ai l'impression qu'on doit faire ça en projetant deux fois et à la fin je devrais passer d'un vecteur $\vec{AH}$ au vecteur $\vec{AI}$

Excusez moi pour le double post mais j'ai l'impression qu'on ne peut pas éditer voir supprimer de message.

Posté par re : Produit Scalaire sur un carré 23-04-15 à 10:47

pff

Citation :
et indépendamment
AI.HA = (AH+HI).HA pour montrer que AI.HA = -||HA||²

on ne cherche pas à démontrer que $\vec{HA}.\vec{AD} = \vec{AI}.\vec{HA}$ !!!
on cherche à démontrer que chacun de ces produits scalaires est égal à -AH²

et que donc ils sont égaux, certes

tu as compris en fait la question de travers
travers fréquent quand on a à prouver des égalités multiples A = B = C = D ...

l'erreur est de chercher à les prouver "dans l'ordre où elles sont écrites"
alors que en fait on doit prouver ces égalités deux à deux dans n'importe quel ordre.
ici la forme A = B = C
ne se démontre pas en prouvant A = B puis B = C

mais en prouvant que A = C et que B = C "'indépendamment"

et que par conséquent on a aussi A = B "sans aucun calcul"

Citation :
Excusez moi pour le double post mais j'ai l'impression qu'on ne peut pas éditer voir supprimer de message.

il n'y a aucun problème, ni à s'excuser
c'est la seule méthode (de se répondre à soi-même) qui permet d'apporter des compléments ou des corrections à un message, ou à faire "remonter" une discussion (up)

le double (multiple) post ce n'est pas ça
c'est de créer un autre topic sur le même sujet et ça c'est interdit, même pour redonner un énoncé "raté", on doit le corriger dans le topic déja créé
par ailleurs effectivement il est impossible de modifier et supprimer un message, ils sont "gravés à vie"
c'est volontaire pour éviter la pagaille que serait des messages qui se modifient pendant la discussion.
voire dont le contenu disparait rendant la discussion incompréhensible à ceux qui viendraient la consulter parce qu'ils ont le même problème

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