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Suite d'intégrales terminale S
Bonjour à tous!
Alors voilà je suis en terminale S, et mon prof de maths nous a donné un Dm à faire pour les vacances portant sur les suites d'intégrales, et je dois avouer que j'ai un peu de mal, étant donné que je n'ai encore jamais vu ça en cours...
Voici le sujet :
On pose pour tout entier naturel n≥1 , et Un=∫"1 à e" (lnx)^n dx
(Je vous met les premières questions pour que vous puissiez vous situer, mais j'ai réussi à les faire):
1)a) A l'aide d'un logiciel, représenter graphiquement les courbes d'équation y = (ln x)^n pour différentes valeurs de n.
b) Émettre des conjectures sur la suite (Un).
Voilà je commence à bloquer dès cette question:
2) Etudier le signe de Un+1 - Un et en déduire le sens de variation de la suite (Un).
Voici comment je suis partie :
Un+1 - Un = ∫"1 à e" ((lnx)^(n+1) - (lnx)^n) dx
Je me suis ensuite dit que lnx > 0 sur ]1;+∞[, et que comme n ≥ 1 > 0, (lnx)^n ≥ 0 sur ]1;+∞[. Donc -(lnx)^n ≤ 0 sur ]1;+∞[.
que si n ≥ 1 > 0, alors n+1 ≥ 2 > 0, et donc (lnx)^(n+1) ≥ 0 sur ]1;+∞[.
Il faut donc ensuite savoir quand (lnx)^(n+1) - (lnx)^n >0.
Mon problème est que graphiquement je sais que: (lnx)^(n+1) - (lnx)^n <0 sur ]1;e[
(lnx)^(n+1) - (lnx)^n >0 sur ]e;+∞[
mais je n'arrive pas à le démontrer par le calcul...
Je vous remercie pour toute aide éventuelle, car j'y ai passé du temps, et je n'ai toujours pas réussi.
Salut! 
Tout d'abord merci à toi littleguy de me répondre aussi vite, c'est cool!
Je ne suis déjà pas sure de savoir correctement factoriser l'expression. Est-ce que cela donne ça:
(lnx)^(n+1) - (lnx)^n = (lnx)^n × (1^(n-n+1) -1) ?
Et je ne vois pas vraiment comment ça permettrait de répondre à mon problème...
tout de même An+1-An = An(A-1)
(ln x)n+1-(ln x)n = (ln x)n (ln(x) -1)
étudie le signe de chaque facteur quand x varie entre 1 et e.
Super merci, j'ai compris, et je retombe pile sur ce que j'avais trouvé graphiquement! Merci encore!
J'aurai une autre petite question à vous poser, la voici:
Montrer que la suite Un est convergente, et que sa limite est positive ou nulle.
Etant donné que Un est une intégrale et une suite à la fois, je ne sais pas comment faire.
J'ai commencé en cours, le chapitre notion de loi à densité qui aborde les limites d'intégrales, mais je reste bloquée à chaque fois...
si In+1-In est négatif comme tu as dû le montrer
alors la suite est décroissante. Elle est minorée par 0 donc elle converge.
Sauf que la suite est décroissante sur ]1;e[, et croissante sur ]e;+∞[.
Et ayant un problème pour calculer la limite de Un,je suis bloquée.
En fait, je crois que j'ai compris. La question était : Montrer que la suite Un est convergente et que sa limite est positive ou nulle.
Si je dis que : La suite Un est décroissante, et la fonction (lnx)^n étant strictement positive sur ]e;+∞[, Un est forcément minorée par 0. Donc elle converge en 0.
Est-ce correcte?
J'ai ensuite fait les questions suivantes :
4) Soit Fn(x) = x(lnx)^(n+1) pour n ≥ 1, et 1 ≤ x ≤ e
a) Calculer Fn'(x). En déduire Un+1 + (n+1)Un.
Voici ce que j'ai fait :
Fn'(x)= ... = (lnx)^(n+1) + (n+1)(lnx)^n
Un+1 + (n+1)Un = ∫"1 à e" ((lnx)^n) dx + ∫"1 à e" ((lnx)^(n+1) )dx = ... = ∫"1 à e" (Fn'(x)) dx
b)Ecrire Un+1 en fonction de Un.
Un+1 = ∫"1 à e" ((lnx)^(n+1) )dx = ... = ln(x) x Un
c) A l'aide de cette relation montrer que la limite de Un ne peut pas être strictement positive.
C'est là que j'ai un problème car on est sensé réutiliser la relation de la question b), et je ne voit pas comment faire. Je me demande si j'ai trouvé la bonne relation...
d) En déduire la limite de Un
Là aussi je ne suis pas sure de savoir comment faire, comme elle est minorée par 0, instinctivement je dirais qu'elle est convergente en 0 et donc que sa limite en +∞ est 0, seulement je ne sais pas le démontrer par le calcul. J'ai cherché un peu sur d'autres postes les limites d'intégrales, mais il semble que ce soit hors programme de terminale S. Bref, je suis coincée...
Merci de votre aide!
La question était
Montrer que la suite Un est convergente, et que sa limite est positive ou nulle.
Oui je me suis mal exprimé, je pensais aux questions qui suivaient (puisqu'il faudra que j'y réponde, et je ne sais pas comment).
Et pour en revenir à cette question : Montrer que la suite Un est convergente, et que sa limite est positive ou nulle. Ma réponse que j'ai mise quelques messages au dessus convient -elle?
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