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Niveau troisième
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Valeur exacte en trigo

Posté par
vivi2633
01-05-15 à 16:43

Bonjour,

Voici mon énoncé:

Soit un triangle ABC, équilatéral de côté a. La hauteur issue de A dans ABC coupe le segment [BC] en H.

1) Quelle est la mesure de l'angle ABC ? De l'angle BAH ? Justifier.

2) Montrer que AH = 3 / 2 * a

3)En déduire les valeurs exactes de sin 30°, cos30°, et tan 30°.

J'ai l'impression que c'est du Chinois. Si vous pouvez m'éclairer.

Merci.
vivi2633

Posté par
Priam
re : Valeur exacte en trigo 01-05-15 à 16:58

Du chinois, vraiment ?
1) Combien vaut la somme des angles d'un triangle ? Quand le triangle est équilatéral, combien vaut chacun de ses angles ?

Posté par
Mistystormy
re : Valeur exacte en trigo 01-05-15 à 17:06

Le principe du triangle équilatéral, c'est :
- tous les côtés ont même longueur
- tous les angles ont même mesure

-> Il y a trois angles dans un triangle, ils ont tous même mesure, et la somme des mesures des angles dans un triangle c'est toujours la même (à toi de la retrouver ) => Comme ça tu obtiens BAC.

La hauteur, globalement, c'est une droite :
Comme elle est "issue de A", elle passe par A
Comme elle coupe [BC] (forcément, c'est le segment d'en face), alors elle est perpendiculaire à [BC].

C'est très visuel, il suffit de faire un dessin: tout se passe bien dans un triangle équilatéral. Ca te permettra de retrouver les "formules de cours" facilement

bon courage

Posté par
vivi2633
re : Valeur exacte en trigo 01-05-15 à 17:46

Ok merci,

Un angle = 60° donc 60*3 = 180°.
Donc BAC = 60°.

Mais je ne vois pas comment montrer que AH = 3 /2 * a

vivi2633

Posté par
Priam
re : Valeur exacte en trigo 01-05-15 à 17:48

AH : par application du théorème de Pythagore.

Posté par
vivi2633
re : Valeur exacte en trigo 01-05-15 à 18:30

Ok merci

vivi2633

Posté par
vivi2633
re : Valeur exacte en trigo 01-05-15 à 18:55

AH^2 = a^2 + 1 / 2 * a^2
AH^2 = a^2 + a^2 / 2
AH = a
AH = ?

Je ne vois pas comment faire pour trouver AH = 3 /2 * a  

Posté par
vivi2633
re : Valeur exacte en trigo 01-05-15 à 19:17

Peut tu me confirmer que
AH^2 = a^2 + 1 / 2 * a^2
AH^2 = a^2 + a^2 / 2
AH = 2a^2 + a^2 / 2
AH = 3 / 2 * a

Posté par
Mistystormy
re : Valeur exacte en trigo 01-05-15 à 19:48

Je crois que tu t'es un peu embrouillé dans les formules :p
La première ligne c'est plutôt ça:

Hypothenuse² = coté1² + coté2²
donc a² = AH² + (a/2)²

il te manque juste un - a coté du a², et le carré est en dehors des parenthèses:

AH² = a² - (a/2)²

Ensuite, il n'y a pas de formule pour trouver racine(a+b) : on ne devrait jamais te demander de faire un calcul comme ça avec des inconnues dedans (sauf extrême sadisme). Donc si tu as ça, c'est que tu peux toujours simplifier

En effet : a² - (a/2)² = a² - a²/2²
                       = a² - a²/4
                       = a²(1-1/4)
                       = 3a²/4

maintenant que c'est simplifié, tu peux passer à la racine, et tu trouves bien racine(3)a/2 !

Posté par
vivi2633
re : Valeur exacte en trigo 02-05-15 à 15:09

Merci.

a² = AH² + (a/2)²
AH² = a² - (a/2)²
a² - (a/2)² = a² - a²/2²
            = a² - a²/4
            = a²(1-1/4)
            = 3a²/4
            = 3 / 2 * a

vivi2633

Posté par
vivi2633
re : Valeur exacte en trigo 02-05-15 à 15:16

Peut tu me confirmer mes réponses ?

1)Les angles ABC et BAH sont égales à 60° car la somme des angles d'un triangle équilatéral est égal à 180° et 180 / 3 = 60.

2)a² = AH² + (a/2)²
  AH² = a² - (a/2)²
  a² - (a/2)² = a² - a²/2²
              = a² - a²/4
              = a²(1-1/4)
              = 3a²/4
              = 3 / 2 * a

3)Sin 30° = 0.5
  Cos 30° = 3 / 2
  Tan 30° = 3 / 3

Je ne sais pas comment le prouver.

vivi2633

Posté par
Mistystormy
re : Valeur exacte en trigo 02-05-15 à 16:45

OK pour 1 et 2 (n'oublie pas la racine devant le 3 mais t'as pas du faire expres^^)

Ensuite, on a du t'apprendre SOHCAHTOA, ou CAHSOHTOA ("casse toi") comme moyen mnémotechnique pour dire :
Le Sinus c'est coté Opposé sur l'Hypothenuse
Le Cosinus c'est coté Adjacent sur l'Hypothénuse
La Tangente c'est coté Opposé sur coté Adjacent.

Donc il faut chercher sur le dessin du triangle ou est ce qu'il y a 30° (sinon on ne poserait pas la question).
Tu devrais le trouver au niveau de A, la ou tu as fait partir la hauteur.
Ensuite, il faut que tu trouves un triangle rectangle, avec l'angle qui fait 30°, comme ça tu peux appliquer SOHCAHTOA.

tu connais la longueur de l'hypothénuse (a), du coté adjacent (a/2) et du côté opposé (AH).

Rappel : le coté opposé, il est dans le triangle mais ne touche pas l'angle de 30°, le coté adjacent lui le touche. Je dis ça juste au cas où mais c'est important de savoir les trouver

Il ne te reste plus qu'a appliquer SohCahToa, ou CahSohToa

Bon courage

Posté par
vivi2633
re : Valeur exacte en trigo 03-05-15 à 11:31

Merci.

Sin HAC = AH / a
    HAC = arcsin ( ? )
Il faut que je mette quoi ?

Cos HAC = (a / 2) / a
    HAC = arccos ( ? )
Il faut que je mette quoi ?

Tan HAC = AH / (a / 2)
    HAC = arctan ( ? )
Il faut que je mette quoi ?

vivi2633

Posté par
Mistystormy
re : Valeur exacte en trigo 03-05-15 à 13:42

Excuse moi je me suis trompée en écrivant :
le côté opposé est de longueur a/2 et le côté adjacent de longueur AH, et non le contraire. Sinon pour le principe c'est juste (il faut juste échanger a/2 et AH)
Tu n'as pas besoin d'utiliser les opérateurs arcsin, arccos et arctan dans cet exercice, on demande juste le sinus, le cosinus et la tangente de 30° (soit de HAC).

Ensuite, dans un exercice en général il faut
- utiliser les questions d'avant
- simplifier au maximum les expressions

Donc il te reste à remplacer la valeur de AH par celle trouvée avant, et simplifier la fraction

Posté par
vivi2633
re : Valeur exacte en trigo 03-05-15 à 16:28

Merci.

Sin HAC = (a / 2) / a
Sin 30 =
Comment je calcul ?

Cos HAC = AH / a
Cos 30 = 3 / 2 * a / a
Cos 30 = 3 / 2 * a * a / cos 30
a = 3 / 2 * a


Tan HAC = (a / 2) / AH
Tan 30 = (a / 2) / 3 / 2 * a
a =
Comment je calcul ?

vivi2633

Posté par
Mistystormy
re : Valeur exacte en trigo 03-05-15 à 18:52

HAC vaut 30°, donc quand tu as sin(HAC), ben tu as sin(30) :p
et a/a = 1, tu peux simplifier les fractions^^
par exemple: (3a/2)/a = 3/2

Posté par
Mistystormy
re : Valeur exacte en trigo 03-05-15 à 18:54

et de la même façon, (a/2) / a = a/2a = 1/2
ca t'a l'air logique ou pas ?



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