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Niveau première
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Puissance d'un point et produit scalaire

Posté par
Ernst
14-05-15 à 18:24

Bonjour à tous et à toutes, j'ai un soucis avec un des exercices que j'ai à réaliser.
Cet exercice est le n55p220 du livre Hyperbole 1ère S édition 2011, voici l'énoncé de la partie me posant problème:

III) Soient A,B,C,D et T, des points d'un cercle C de centre O tels que:

M est un point extérieur au cercle
(AB) et (CD) se coupent en M;
(MT) est tangente au cercle C (en T)

Démontrer que:

(scalaire) MA.MB=MC.MD=MT²

J'ai démontré que MA.MB=MO²-R², avec A,B et M sur une même droite.
Donc M,C et D sont sur une même droite et ainsi selon la démonstration précédente MC.MD=MO²-R²
Soit MC.MD=MA.MB.

J'aimerais savoir si ma réponse est pertinente, car elle ne me semble pas assez justifiée. Je n'ai également aucune idée comment démontrer
l'égalité à MT²: j'ai pensé à l'utilisation du théorème de Pythagore.

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de m'aider!

Posté par
Glapion Moderateur
re : Puissance d'un point et produit scalaire 14-05-15 à 18:28

Bonjour, si tu as montré que MA.MB = MC.MD = MO²-R² c'est que le produit scalaire est donc indépendant de la demi droite issue de M que l'on prend pour couper le cercle. Et notamment pour une tangente au cercle MA.MB = MT²
(et puis effectivement, Pythagore te donne MT² = OM²-R² puisque l'angle en T est droit)

Posté par
kenavo27
re : Puissance d'un point et produit scalaire 14-05-15 à 18:31

bonsoir,

Citation :
J'ai démontré que MA.MB=MO²-R²


comment as-tu démontré?

Posté par
Ernst
re : Puissance d'un point et produit scalaire 14-05-15 à 18:44

La démonstration est faite dans la question précédente par l'utilisation d'un point A' diamétralement opposé à A.
J'ai fais: MA.MB=MA.MA'= (MO+OA).(MO+OA')
=MO²+MO(OA'+OA)+OA.OA'
Or OA'=-OA
donc MA.MB=OM²-OA²
=MO-R²



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