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Operateur lineaires
bonjour
que vous disez de ce travail?
Enoncée:
soit X un espace de Banach (dimension infini)
(Tn)n une suits des application lineairs continues de X dans X telle que:
x
X limnTn(x)=T(x)
Montrer que T est linéaire continue.
Reponse:
soient x,yX
T(x+y)=limnTn(x+y)
=limnTn(x)+limnTn(y)
=T(x)+T(y)
donc T est linéaire
pour la continuité norm(T)
supnnorm(Tn)
ou "norm désigne une norme sur l'ensemble des application linéaires continues"
donc T est continue
Merci pour vos vos idées
Relis la définition de ce qu'est une application linéaire.
Pour ce qui est de la continuité, comment justifies-tu que ce supp n'est pas + l'infini ?
salut
pour la continuité un classique :
T(x) - T(y) = T(x) - Tn(x) + Tn(x) - Tn(y) + Tn(y) - T(y)
puis traduire avec des epsilon le fait que :
x tend vers y
Tn tend vers T
...
Bonsoir carpediem.
Sans la limite uniforme je ne penses pas que ton procédé réussisse : pour obtenir avec une condition du genre
ton
va dépendre de
.
Bonjour !
Pour elhoussine12 : tu ne peux pas utiliser la notation "norm(T)" avant de démontrer la continuité.
Je pense que ce qui suit peut convenir pour la continuité, en notant la norme de
, espace des applications linéaires continues :
est linéaire et continue. Il existe alors
, de norme 1, tel que
.
On en déduit que est une suite de Cauchy dans
. Comme cet espace est complet puisque
l'est, la limite
est bien dans l'espace
.
Enfer et damnation !
Je me suis fait avoir : mon dépend de
de sorte que pour la suite de Cauchy c'est pas gagné !
Il faut encore chercher mais je chercherais aussi un contre-exemple car j'ai des doutes avec juste l'hypothèse de convergence simple des .
Je comprends pas pourquoi tu te tues à démontrer quoique ce soit alors qu'il parle de continuité dans un EV de dimension infinie sans préciser de norme....
Je comprends pas pourquoi tu te tues à démontrer quoique ce soit alors qu'il parle de continuité dans un EV de dimension infinie sans préciser de norme....
Je pense qu'il est sous-entendu que la norme pour laquelle on cherche la continuité est la norme pour laquelle l'espace est complet.
Bonjour !
Si on dit "espace de Banach" je pense qu'il y a une norme de qui induit une norme des applications linéaires continues (borne supérieure des images de la boule unité de
).
La convergence simple de se fait selon la norme de
et il faut établir que cette limite s'obtient en fait dans l'espace des applications linéaires continues.
Comme on ne peut pas prendre à priori la norme de (on n'est pas dans le bon espace) j'ai essayé de passer par une suite de Cauchy dans l'espace des applications linéaires continues (donc majorer
) puis, par limite sur
, obtenir la continuité de
donc celle de
Il y a peut-être une astuce que je ne vois pas permettant (pour des applications linéaires) de passer des normes de (la continuité en 0 de
suffit) à cette borne supérieure ?
J'ai bien un exemple de limite simple qui n'est pas continue mais, pour le moment, je n'arrive pas à prouver que les applications linéaires de ma suite sont continues.
Bonjour.
Soit une suite qui tend vers 0.
pour
assez grand
pour
assez grand
Et pour assez grand fixé, par continuité de
,
à partir de
assez grand
Finalement, pour tout , il existe un rang N, indépendant de p, à partir duquel on a toujours :
La suite est donc de Cauchy, donc converge car l'espace est complet :
Reste à voir pourquoi L=0, ce qui prouverait la continuité de T en 0 et donc partout.
c'est donc exactement ce que je dis ....
T(x) - T(y) = T(x) - Tn(x) + Tn(x) - Tn(y) + Tn(y) - T(y)
les première et dernière différences tendent vers 0 car T_n(x) --> T(x) (et idem avec y)
la deuxième différence tend vers 0 par continuité de T_n (quand x --> y)
...
A William007 :
Comme tu n'as pas la convergence uniforme ton rang "assez grand" dépend de
Je pense que ce qui suit est le schéma d'une démonstration :
Un espace complet vérifie la propriété de Baire : une intersection dénombrable d'ouverts denses est un ensemble dense.
Avec cette propriété on peut établir (mais je ne donne aucun détail*) : toute limite simple de fonctions continues admet au moins un point de continuité (en fait un ensemble dense de points de continuité).
Pour une application linéaire la continuité en un point suffit.
Je n'ai pas plus simple !
* : ceux qui disposent d'une bibliothèque bien garnie peuvent consulter le problème 7, partie 2, question 5 de l'ouvrage : Maths Xtrêmes chez Ellipses.
Bonsoir carpediem : je reprends ce que j'avais déjà écrit.
Les "tend vers" ne prouvent rien, il faut majorer par des .
La continuité de s'écrit en FIXANT
mais tu ne peux assurer que les
convenant pour
(il y en aura une infinité) soient toujours les mêmes.
Plus détaillé : si la norme de se majore par
pour
l'entier
dépend de
: notons-le
.
Tu auras donc une infinité de sans assurance qu'il y en ait un plus grand que tous les autres.
Ce que tu essaies de faire c'est d'établir (ce qui est faux) la continuité pour une limite simple : prends le cas simple sur
et écris explicitement tes inégalités, tu comprendras ce que je veux dire.
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