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Scalaire
Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire et je suis bloquée, j'aurais besoin d'un peu d'aide.
ABCD un rectangle tel que AB=L et BC= l
On note H et K les projetés orthogonaux respectifs de B et D sur (AC).
1) Calculer le produit scalaire CA.BD de 2 manières différentes
2) Déduire une expression de HK en fonction de L et l
3) Comment choisir L et l pour avoir AC=2HK
Pour la question n°1, j'ai trouvé :
CA.BD=(CD+DA).(BA+AB)
=CD.BA + CD.AD + DA.BA + BA.AD
On a :
CD.BA = (norme)CD scalaire (norme)BA car CD et BA 2 vecteurs colinéaire et de même sens
CD.AD= 0 car CD et AD sont orthogonaux
DA.BA=0 car DA et BA orthogonaux
DA.AD= - (norme)DA scalaire (norme)AB car DA et AD sont colinéaires et de sens opposés.
De plus CA.BA = L*L = L² et DA.AD = -l*l = -l²
Donc CA.BD = L²-l²
Par contre je n'arrive pas à trouver la deuxieme façon de calculer CA.BD , je sais qu'il faut utiliser les projetés orthogonaux mais je ne trouve pas comment et donc je suis bloquer pour faire la suite.
Merci à ceux qui m'aideront
ben etant donné la question 2), decompose les vecteur spourfaire apparaitre HK
tu fais par exemple:
CA=CH+HK+KA et BD=BH+HK+KD
tu fais le produit scalaire, tu simplifie plein de trucs et tu aus ta solution
Si je décompose les vecteurs comme tu me dis, je trouve :
(norme)CH.(norme)HK + (norme)HK² + (norme)KA.(norme)HK
Je penses que c'est bon mais après ça je suis bloquée
bonsoir,
pur revenir à ta première question :
Calculer le produit scalaire CA.BD de 2 manières différentes
Et si l'on décomposait BD -> BD=BA+AC+CD ?
bonjour,
vCA x vBD= vCA(vBH + vHK + v KD)= L²-l²
ou vCA x vBD = vCA*vBH + vCA*vHK+ vCA*KD= L²-l²
vCA x vBD=0
vCA*KD=0
reste
vCA*vHK= L²-l²
vCA et vHK sont colinéaires
donc le produit scalaire de vCA*vHK = CA*HK= L²-l²
or
CA²=AB²+BC² = L²+l²
ou
CA=
( L²+l²)
donc HK= (L²-L²)/(L²+l²)
sauf erreur
Si je suis à peu près ta méthode, j'ai :
CA.BD= CA.(BH+HK+KD) = -l²+L²
CA.BA= CA.BH + CA.HK + CA.KA = -L²+L²
Avec
CA.BH =0
CA.HK = (norme)CA.(norme)HK
CA.KA= 0
donc CA.BD = CA.HK
De plus, (norme) CA étant la diagonale du rectangle, elle se calcul par L²+l²
On a donc CA.BD = L²+l² * HK
Est ce correct ?
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